АВ=1+57, где и 3 - координатные векторы. Найдите координаты точки В, если А(0; 1). Составьте уравнение прямой АВ. (Если получаются коэффициенты 1, -1, 0, то их нужно ввести.) Найдите координаты точки М – середины отрезка АВ.

Решение:

• Координаты точки B находим, прибавляя координаты вектора AB к координатам точки A:

Если вектор \(\overrightarrow{AB} = i + 5j\), то его координаты (1; 5). Дано, что точка A имеет координаты (0; 1). Тогда координаты точки B будут:

\[B(0 + 1; 1 + 5) = B(1; 6)\]

• Уравнение прямой AB имеет вид \(Ax + By + C = 0\). Для нахождения коэффициентов A и B используем координаты точек A(0; 1) и B(1; 6):

Подставим координаты этих точек в уравнение прямой:

\[\begin{cases}A \cdot 0 + B \cdot 1 + C = 0 \\A \cdot 1 + B \cdot 6 + C = 0\end{cases}\]

Из первого уравнения следует, что \(C = -B\). Подставим это во второе уравнение:

\[A + 6B - B = 0 \Rightarrow A + 5B = 0 \Rightarrow A = -5B\]

Теперь подставим A и C в общее уравнение прямой:

\[-5Bx + By - B = 0\]

Разделим на -B (так как B не равно нулю):

\[5x - y + 1 = 0\]

Перенесем константу в правую часть:

\[5x - y = -1\]

• Координаты середины отрезка AB, точки M, находятся как среднее арифметическое координат точек A и B:

\[M\left(\frac{0 + 1}{2}; \frac{1 + 6}{2}\right) = M\left(\frac{1}{2}; \frac{7}{2}\right) = M(0.5; 3.5)\]

Ответ: B(1; 6); AB: 5x - y = -1; M(0.5; 3.5)