АВ и АС - отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 9 см. Найдите длины отрезков АС и АО, если АВ = 12 см.

Поскольку AB и AC - отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, то длины этих отрезков равны, то есть AC = AB = 12 см.

Пусть O - центр окружности. Рассмотрим треугольник ABO. Так как AB - касательная к окружности, то угол ABO прямой, то есть треугольник ABO - прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике ABO, AO - гипотенуза, AB и BO - катеты. По теореме Пифагора:

$$AO^2 = AB^2 + BO^2$$

Из условия задачи известно, что радиус окружности равен 9 см, следовательно, BO = 9 см. Также известно, что AB = 12 см. Подставим эти значения в теорему Пифагора:

$$AO^2 = 12^2 + 9^2$$ $$AO^2 = 144 + 81$$ $$AO^2 = 225$$ $$AO = \sqrt{225}$$ $$AO = 15$$

Таким образом, длина отрезка AO равна 15 см.

Ответ: AC = 12 см, AO = 15 см