6. A В параллелограмме АВСD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 74°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть угол между диагоналями, который требуется найти – это угол $$\angle COB$$, где O – точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Так как AC в 2 раза больше стороны AB, то $$AC = 2AB$$.

Рассмотрим треугольник ABC. Угол $$ \angle BAC = 180 - \angle ACD = 180 - 74 = 106 $$ градусов, как внутренние односторонние углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

По теореме синусов для треугольника ABC:

$$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{AC}{\sin \angle ABC}$$

$$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{2AB}{\sin \angle ABC}$$

$$\frac{1}{\sin \angle ACB} = \frac{2}{\sin \angle ABC}$$

$$\sin \angle ABC = 2 \sin \angle ACB$$

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то $$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180°$$

$$\angle ABC + \angle ACB + 106° = 180°$$

$$\angle ABC + \angle ACB = 74°$$

Пусть $$\angle ACB = x$$, тогда $$\angle ABC = 74 - x$$

$$\sin (74 - x) = 2 \sin x$$

Подбором находим, что x = 24 градуса, тогда угол ACB = 24 градуса, а угол ABC = 50 градусов.

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому AO = OC, BO = OD.

Рассмотрим треугольник BOC: $$ \angle OBC = \frac{\angle ABC}{2} = 25 $$ градусов.

$$ \angle OCB = \angle ACD = 74 $$ градуса, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC.

Тогда $$\angle BOC = 180 - (25 + 74) = 180 - 99 = 81$$ градус.

Ответ: 81