авенство \frac{(x-5)^3(x+3)}{x^2-x-20} \leq 0.

Разбираемся:

Для решения этого неравенства нам нужно найти корни числителя и знаменателя, а затем использовать метод интервалов.

Пошаговое решение:

1. Находим корни числителя:\[(x-5)^3(x+3) = 0\]

   Отсюда, \(x = 5\) (кратности 3) и \(x = -3\).

2. Находим корни знаменателя:\[x^2 - x - 20 = 0\]

   Используем теорему Виета или дискриминант:

   \(D = (-1)^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81\)

   \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5\)

   \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{1 - 9}{2} = -4\)

   Итак, корни знаменателя: \(x = 5\) и \(x = -4\).

3. Учитываем область определения:

   Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \(x
   eq 5\) и \(x
   eq -4\).

4. Метод интервалов:

   Отмечаем точки на числовой прямой: \(-4, -3, 5\).

   Рассмотрим интервалы:

   • \((-\infty, -4)\): Выберем \(x = -5\). Тогда выражение имеет знак \(\frac{(-10)^3(-2)}{(-5)^2 - (-5) - 20} = \frac{-1000 \cdot (-2)}{25 + 5 - 20} = \frac{2000}{10} = 200 > 0\).
   • \((-4, -3)\): Выберем \(x = -3.5\). Тогда выражение имеет знак \(\frac{(-8.5)^3(-0.5)}{(-3.5)^2 - (-3.5) - 20} = \frac{(-) \cdot (-)}{12.25 + 3.5 - 20} = \frac{(+)}{-4.25} < 0\).
   • \((-3, 5)\): Выберем \(x = 0\). Тогда выражение имеет знак \(\frac{(-5)^3(3)}{(0)^2 - 0 - 20} = \frac{-125 \cdot 3}{-20} = \frac{-375}{-20} > 0\).
   • \((5, +\infty)\): Выберем \(x = 6\). Тогда выражение имеет знак \(\frac{(1)^3(9)}{(6)^2 - 6 - 20} = \frac{9}{36 - 6 - 20} = \frac{9}{10} > 0\).

   Так как неравенство \(\leq 0\), выбираем интервал, где выражение отрицательно или равно нулю.

Решение: \(x \in (-4, -3] \cup \{5\}\)

Так как \(x=5\) является корнем числителя кратности 3, то значение \(x=5\) является решением.

Учитываем область определения. \(x
eq 5\) и \(x
eq -4\). Поэтому, \(x \in (-4, -3]\).

Ответ: \(x \in (-4, -3]\)