АВСD — ромб, O — точка пересечения его диагоналей, M — точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки A, D, O лежат в плоскости α. Определить и обосновать: 1. Лежат ли в плоскости α точки B и C? 2. Лежит ли в плоскости MOB точка D? 3. Назовите линию пересечения плоскостей MOB и ADO. 4. Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60°. Предложите различные способы вычисления площади ромба.

В ромбе диагонали пересекаются и делятся точкой O пополам. Поэтому точки B, O, D лежат на одной прямой, а точки A, O, C — на другой.

Плоскость α содержит точки A, D и O. Прямые AO и DO лежат в этой плоскости. Следовательно, точки C ∈ AO и B ∈ DO также лежат в плоскости α.

Ответ: точки B и C лежат в плоскости α.

Точки B, O и D лежат на одной прямой. Так как точки M, O и B определяют плоскость MOB, прямая OB лежит в этой плоскости. Поэтому точка D, лежащая на продолжении этой прямой, также принадлежит плоскости MOB.

Ответ: точка D лежит в плоскости MOB.

Плоскости MOB и ADO имеют общие точки O и D. Две различные плоскости, имеющие две общие точки, пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.

Ответ: линия пересечения плоскостей MOB и ADO — прямая OD.

Способ 1. Через основание и высоту. Разобьём ромб диагональю на два равных треугольника. Высота ромба равна \(h=a\sin 60^\circ\). Тогда

\[S=ah=a^2\sin 60^\circ=4^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3\text{ см}^2.\]

Способ 2. Через диагонали. Диагонали ромба при стороне 4 см и угле 60° равны

\[d_1=2a\cos30^\circ=4\sqrt3\text{ см},\qquad d_2=2a\sin30^\circ=4\text{ см}.\]

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

\[S=\frac{d_1d_2}{2}=\frac{4\sqrt3\cdot4}{2}=8\sqrt3\text{ см}^2.\]

Способ 3. Через площадь двух треугольников. Площадь треугольника, образованного двумя сторонами ромба:

\[S_{\triangle}=\frac12a^2\sin60^\circ.\]

Ромб состоит из двух таких треугольников, поэтому

\[S=2S_{\triangle}=a^2\sin60^\circ=8\sqrt3\text{ см}^2.\]

Ответ: площадь ромба равна \(8\sqrt3\text{ см}^2\).