Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1. Автобус проехал половину 240 км трассы по расписанию. На середине пути он сделал остановку на 20 минут, и чтобы приехать в конечный пункт вовремя, увеличил скорость на 4 км/ч. Найдите первоначальную скорость автобуса. 2. Моторная лодка прошла по течению 70 км. За тоже время она может пройти против течения 30 км. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч. 3. Решите уравнение методом замены переменной: 1) (x² - 8)25(x²-8) - 14 = 0; 2) (x + 7)4-17(x + 7)² + 16 = 0;
Ответ:
Привет! Давай решим эти задачи по порядку.
Задача 1: Автобус
Автобус проехал половину пути (120 км) с некоторой скоростью, затем увеличил скорость на 4 км/ч, чтобы компенсировать 20-минутную остановку. Наша задача — найти первоначальную скорость автобуса.
Обозначим:
- \(v\) — первоначальная скорость автобуса (км/ч)
- \(t\) — время, которое автобус должен был потратить на вторую половину пути по расписанию (часы)
По расписанию:
\(t = \frac{120}{v}\)
С учетом остановки и увеличенной скорости:
\(t - \frac{20}{60} = \frac{120}{v + 4}\)
\(t - \frac{1}{3} = \frac{120}{v + 4}\)
Подставим первое уравнение во второе:
\[\frac{120}{v} - \frac{1}{3} = \frac{120}{v + 4}\]
Умножим обе части уравнения на \(3v(v + 4)\), чтобы избавиться от дробей:
\[360(v + 4) - v(v + 4) = 360v\]
Раскроем скобки и упростим:
\[360v + 1440 - v^2 - 4v = 360v\]
\[v^2 + 4v - 1440 = 0\]
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
\(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1440) = 16 + 5760 = 5776\)
\[v = \frac{-4 \pm \sqrt{5776}}{2} = \frac{-4 \pm 76}{2}\]
Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение:
\[v = \frac{-4 + 76}{2} = \frac{72}{2} = 36\]
Первоначальная скорость автобуса — 36 км/ч.
Задача 2: Моторная лодка
Моторная лодка прошла по течению 70 км и против течения 30 км за одно и то же время. Скорость лодки в стоячей воде — 10 км/ч. Нужно найти скорость течения.
Обозначим:
- \(v_л\) — скорость лодки в стоячей воде (10 км/ч)
- \(v_т\) — скорость течения (км/ч)
- \(t\) — время в пути (часы)
По течению:
\[t = \frac{70}{v_л + v_т} = \frac{70}{10 + v_т}\]
Против течения:
\[t = \frac{30}{v_л - v_т} = \frac{30}{10 - v_т}\]
Так как время одинаковое, приравняем оба выражения:
\[\frac{70}{10 + v_т} = \frac{30}{10 - v_т}\]
Умножим обе части уравнения на \((10 + v_т)(10 - v_т)\):
\[70(10 - v_т) = 30(10 + v_т)\]
Раскроем скобки и упростим:
\[700 - 70v_т = 300 + 30v_т\]
\[100v_т = 400\]
\[v_т = \frac{400}{100} = 4\]
Скорость течения — 4 км/ч.
Задача 3: Решение уравнений методом замены переменной
1) \((x^2 - 8)^2 - 5(x^2 - 8) - 14 = 0\)
Сделаем замену: \(y = x^2 - 8\). Тогда уравнение примет вид:
\[y^2 - 5y - 14 = 0\]
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\)
\[y = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{5 \pm 9}{2}\]
\[y_1 = \frac{5 + 9}{2} = 7, \quad y_2 = \frac{5 - 9}{2} = -2\]
Вернемся к замене:
\[x^2 - 8 = 7 \Rightarrow x^2 = 15 \Rightarrow x = \pm \sqrt{15}\]
\[x^2 - 8 = -2 \Rightarrow x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm \sqrt{6}\]
Корни уравнения: \(x = \pm \sqrt{15}, \pm \sqrt{6}\)
2) \((x + 7)^4 - 17(x + 7)^2 + 16 = 0\)
Сделаем замену: \(y = (x + 7)^2\). Тогда уравнение примет вид:
\[y^2 - 17y + 16 = 0\]
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
\(D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225\)
\[y = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{17 \pm 15}{2}\]
\[y_1 = \frac{17 + 15}{2} = 16, \quad y_2 = \frac{17 - 15}{2} = 1\]
Вернемся к замене:
\[(x + 7)^2 = 16 \Rightarrow x + 7 = \pm 4\]
\[x = -7 \pm 4 \Rightarrow x_1 = -3, \quad x_2 = -11\]
\[(x + 7)^2 = 1 \Rightarrow x + 7 = \pm 1\]
\[x = -7 \pm 1 \Rightarrow x_3 = -6, \quad x_4 = -8\]
Корни уравнения: \(x = -3, -11, -6, -8\)
Ответ: Задача 1: 36 км/ч, Задача 2: 4 км/ч, Задача 3: 1) \(x = \pm \sqrt{15}, \pm \sqrt{6}\), 2) \(x = -3, -11, -6, -8\)
Отлично! Ты хорошо поработал(а) над этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!
