3. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,03. а) Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. 6) Случайно выбранная батарейка оказалась забракована системой контроля. Найдите вероятность, что она неисправна.

Разберем задачу по теории вероятностей.

а) Вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля, найдем по формуле полной вероятности:

$$P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2)$$,

где: $$A$$ - событие "батарейка забракована"; $$B_1$$ - событие "батарейка неисправна"; $$B_2$$ - событие "батарейка исправна"; $$P(A|B_1)$$ - вероятность забраковать неисправную батарейку; $$P(A|B_2)$$ - вероятность забраковать исправную батарейку; $$P(B_1)$$ - вероятность, что батарейка неисправна; $$P(B_2)$$ - вероятность, что батарейка исправна.

Из условия задачи: $$P(B_1) = 0.03$$; $$P(B_2) = 1 - P(B_1) = 1 - 0.03 = 0.97$$; $$P(A|B_1) = 0.96$$; $$P(A|B_2) = 0.03$$.

Подставим значения в формулу:

$$P(A) = 0.96 \cdot 0.03 + 0.03 \cdot 0.97 = 0.0288 + 0.0291 = 0.0579$$.

Ответ: 0.0579

б) Найдем вероятность того, что случайно выбранная и забракованная батарейка неисправна, используя формулу Байеса:

$$P(B_1|A) = \frac{P(A|B_1)P(B_1)}{P(A)}$$,

где: $$P(B_1|A)$$ - вероятность того, что батарейка неисправна, при условии, что она забракована; $$P(A)$$ - вероятность, что батарейка забракована (из пункта а).

Подставим значения в формулу:

$$P(B_1|A) = \frac{0.96 \cdot 0.03}{0.0579} = \frac{0.0288}{0.0579} ≈ 0.4974$$.

Ответ: 0.4974