Автомобиль, движущийся по мосту, в точке А (см. рис.) имеет скорость v = 72 км/ч. Каким должен быть радиус кривизны моста, чтобы водитель в точке А оказался в состоянии невесомости?

Решение:

Для того чтобы водитель в точке А оказался в состоянии невесомости, сила нормальной реакции опоры (в данном случае моста) должна быть равна нулю. В точке А на автомобиль действуют две силы: сила тяжести \( F_{тяж} = mg \) (направлена вертикально вниз) и сила нормальной реакции опоры \( N \) (направлена вертикально вверх).

Движение в точке А является криволинейным, поэтому к центру кривизны (центр окружности, частью которой является мост) направлена центростремительная сила \( F_{цс} \).

В точке А, где мост имеет выпуклую форму, сила, направленная к центру кривизны, равна разности силы тяжести и силы нормальной реакции опоры:

\[ F_{цс} = F_{тяж} - N \]

Центростремительная сила выражается формулой:

\[ F_{цс} = \frac{mv^2}{R} \]

где \( m \) — масса автомобиля, \( v \) — его скорость, \( R \) — радиус кривизны моста.

Для состояния невесомости \( N = 0 \). Тогда:

\[ \frac{mv^2}{R} = mg \]

Сокращаем массу \( m \):

\[ \frac{v^2}{R} = g \]

Отсюда выразим радиус кривизны \( R \):

\[ R = \frac{v^2}{g} \]

Скорость дана в км/ч, переведем её в м/с:

\[ v = 72 \) км/ч = \( 72 \cdot \frac{1000}{3600} \) м/с = \( 72 \cdot \frac{1}{3.6} \) м/с = \( 20 \) м/с.

Примем ускорение свободного падения \( g \approx 10 \) м/с² (для упрощения расчетов, как часто принято в задачах такого типа, если не указано иное).

Подставляем значения:

\[ R = \(\frac\){\(20 \text{ м/с}\)^2}{10 \(\text{ м/с}\)^2} = \(\frac{400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{10 \text{ м/с}^2}\) = 40 \) м.

Ответ: Радиус кривизны моста должен быть равен \( 40 \) метрам.