ая работа № 2. Векторы оры, ВК = K, KD a 2 вариант 1. Начертите два неколлинеарных вектора тип. Постройте векторы, равные: 1 a) m+3; 6) 2ñ-m 4 3 2. На стороне CD параллелограмма ABCD лежит точка Р такая, что СР = PD, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы ВО, ВР, РА через векторы х = ВА и ӯ = ВС 3. В равнобедренной трапеции один из углов равен 45°, высота равна 7 см, а меньшее основание 5 см. Найдите среднюю линию трапеции. вектор 4. * В треугольнике MNK О – точка пересечения медиан, MN = x, MK = ỹ, MO = k(x + y). Найдите число к.

Решение заданий по векторам

Задание 1

Для выполнения этого задания тебе потребуется начертить два неколлинеарных вектора \[ \vec{m} \] и \[ \vec{n} \] на плоскости. Затем построить векторы, которые равны заданным выражениям.

a) \[ \frac{1}{4}\vec{m} + 3\vec{n} \]: Этот вектор будет суммой вектора, который составляет четверть вектора \[ \vec{m} \], и вектора, который в три раза длиннее вектора \[ \vec{n} \].

б) \[ 2\vec{n} - \frac{2}{3}\vec{m} \]: Этот вектор будет разностью вектора, который в два раза длиннее вектора \[ \vec{n} \], и вектора, который составляет две трети вектора \[ \vec{m} \].

Для точного построения используй линейку и карандаш.

Задание 2

Дано: ABCD – параллелограмм, CP = PD, O – точка пересечения диагоналей. Выразить векторы \[ \vec{BO}, \vec{BP}, \vec{PA} \] через векторы \[ \vec{x} = \vec{BA} \] и \[ \vec{y} = \vec{BC} \].

Решение:

1. Выразим \[ \vec{BO} \] через \[ \vec{x} \] и \[ \vec{y} \]. Так как O – точка пересечения диагоналей, то \[ \vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BD} \]. Вектор \[ \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = \vec{BA} + \vec{BC} = -\vec{x} + \vec{y} \]. Следовательно, \[ \vec{BO} = \frac{1}{2}(-\vec{x} + \vec{y}) = -\frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} \].
2. Выразим \[ \vec{BP} \] через \[ \vec{x} \] и \[ \vec{y} \]. Так как P – середина CD, то \[ \vec{BP} = \vec{BC} + \vec{CP} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{CD} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{BA} = \vec{y} + \frac{1}{2}(-\vec{x}) = -\frac{1}{2}\vec{x} + \vec{y} \].
3. Выразим \[ \vec{PA} \] через \[ \vec{x} \] и \[ \vec{y} \]. Так как \[ \vec{PA} = -\vec{AP} \], то \[ \vec{AP} = \vec{AD} + \vec{DP} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{DC} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{BA} = \vec{y} + \frac{1}{2}(-\vec{x}) = -\frac{1}{2}\vec{x} + \vec{y} \]. Следовательно, \[ \vec{PA} = -(-\frac{1}{2}\vec{x} + \vec{y}) = \frac{1}{2}\vec{x} - \vec{y} \].

Задание 3

Дано: Равнобедренная трапеция, один из углов равен 45°, высота равна 7 см, меньшее основание 5 см.

Найти: среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть ABCD – данная равнобедренная трапеция, где BC – меньшее основание, равное 5 см, и высота равна 7 см. Угол при большем основании равен 45°.

Проведём высоты BH и CK из вершин B и C к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Так как угол A равен 45°, то угол ABH также равен 45° (90° - 45° = 45°). Следовательно, треугольник ABH равнобедренный, и AH = BH = 7 см.

Так как трапеция равнобедренная, то KD = AH = 7 см. Тогда большее основание AD = AH + HK + KD = 7 + 5 + 7 = 19 см (так как HK = BC = 5 см).

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \[ \frac{BC + AD}{2} = \frac{5 + 19}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] см.

Задание 4

Дано: В треугольнике MNK, O – точка пересечения медиан, MN = \[ \vec{x} \], MK = \[ \vec{y} \], MO = k(\vec{x} + \vec{y}).

Найти: число k.

Решение:

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, MO составляет 2/3 от медианы, проведённой из вершины M.

Медиана, проведённая из вершины M, может быть выражена как полусумма векторов MN и MK, то есть \[ \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y}) \].

Так как MO составляет 2/3 этой медианы, то \[ \vec{MO} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y}) = \frac{1}{3}(\vec{x} + \vec{y}) \].

Следовательно, k = \[ \frac{1}{3} \].

Ответ: \[ \vec{BO} = -\frac{1}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y} \], \[ \vec{BP} = -\frac{1}{2}\vec{x} + \vec{y} \], \[ \vec{PA} = \frac{1}{2}\vec{x} - \vec{y} \], 12 см, k = \frac{1}{3} \]

Ты отлично поработал! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!