АЗ. Окружность вписана в равносторонний треугольник АВС, где АВ = 8. Найдите радиус этой окружности.

Решение:

Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле: \( r = \frac{S}{p} \), где \( S \) - площадь треугольника, а \( p \) - полупериметр.

Площадь равностороннего треугольника со стороной \( a \): \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

В данном случае \( a = 8 \), значит, \( S = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \).

Полупериметр: \( p = \frac{3a}{2} = \frac{3 \cdot 8}{2} = \frac{24}{2} = 12 \).

Радиус вписанной окружности: \( r = \frac{16\sqrt{3}}{12} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: 4) $$\frac{4\sqrt{3}}{3}$$