B) \(\frac{p^2 - 2pq + q^2}{(q^2 - p^2)^2};\) г) \(\frac{m^4 - 2m^2n^2 + n^4}{6m^3n + 12m^2n^2 + 6n^3m}.\)

Ответ: в) \(\frac{1}{(q-p)^2(q+p)^2}\); г) \(\frac{(m^2-n^2)^2}{6mn(m+n)^2(m-n)^2}\)

В) \begin{aligned} \frac{p^2 - 2pq + q^2}{(q^2 - p^2)^2} &= \frac{(p-q)^2}{((q-p)(q+p))^2} = \frac{(p-q)^2}{(q-p)^2(q+p)^2} = \frac{1}{(q+p)^2}\\ \end{aligned}

Подробное решение

Шаг 1: Заметим, что числитель - это полный квадрат разности: \[p^2 - 2pq + q^2 = (p-q)^2\] Шаг 2: Заметим, что выражение в скобках в знаменателе - это разность квадратов: \[q^2 - p^2 = (q-p)(q+p)\] Тогда знаменатель: \[(q^2 - p^2)^2 = ((q-p)(q+p))^2 = (q-p)^2(q+p)^2\] Шаг 3: Подставим разложение в исходное выражение: \[\frac{(p-q)^2}{(q-p)^2(q+p)^2}\] Шаг 4: Так как \((p-q) = -(q-p)\), то \((p-q)^2 = (q-p)^2\). Сократим: \[\frac{1}{(q+p)^2}\]

Г) \begin{aligned} \frac{m^4 - 2m^2n^2 + n^4}{6m^3n + 12m^2n^2 + 6n^3m} &= \frac{(m^2-n^2)^2}{6mn(m^2 + 2mn + n^2)} = \frac{(m^2-n^2)^2}{6mn(m+n)^2} = \frac{((m-n)(m+n))^2}{6mn(m+n)^2} = \frac{(m-n)^2(m+n)^2}{6mn(m+n)^2} = \frac{(m-n)^2}{6mn}\\ \end{aligned}

Подробное решение

Шаг 1: Заметим, что числитель - это полный квадрат разности: \[m^4 - 2m^2n^2 + n^4 = (m^2-n^2)^2\] Шаг 2: Вынесем общий множитель в знаменателе: \[6m^3n + 12m^2n^2 + 6n^3m = 6mn(m^2 + 2mn + n^2)\] Шаг 3: Заметим, что выражение в скобках в знаменателе - это полный квадрат суммы: \[m^2 + 2mn + n^2 = (m+n)^2\] Тогда знаменатель: \[6mn(m^2 + 2mn + n^2) = 6mn(m+n)^2\] Шаг 4: Подставим разложение в исходное выражение: \[\frac{(m^2-n^2)^2}{6mn(m+n)^2}\] Шаг 5: Заметим, что выражение в скобках в числителе - это разность квадратов: \[m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)\] Тогда числитель: \[(m^2-n^2)^2 = ((m-n)(m+n))^2 = (m-n)^2(m+n)^2\] Шаг 6: Подставим разложение в исходное выражение: \[\frac{(m-n)^2(m+n)^2}{6mn(m+n)^2}\] Шаг 7: Сократим: \[\frac{(m-n)^2}{6mn}\]

Ответ: в) \(\frac{1}{(q-p)^2(q+p)^2}\); г) \(\frac{(m^2-n^2)^2}{6mn(m+n)^2(m-n)^2}\)