50, б) 9 - (7 + 3a)2; в) (4 - 11m)² – 1; г) р² - (2р + 1)²; д) (5с - 3d)2 – 9d2; e) a4 - (9b + a²)2. 897. Представьте те в виде произведения: a) (2x + y)² - (x – 2y)²; в) (m + n)² – (m – n)²; б) (a + b)² – (b + c)²; г) (4c – x)² - (2c + 3x)². 898. а) Докажите, что при любом натуральном п значение выраже- ния (4п + 5)2 – 9 делится на 4. б) Докажите, что при любом натуральном п значение выраже- ния (п + 7)2 – п² делится на 7. 899. На сторонах прямоугольника построе- ны квадраты (рис. 73). Площадь одного квадрата на 95 см² больше площади дру- гого. Найдите периметр прямоугольника, если известно, что длина прямоугольни- ка на 5 см больше его ширины. 900. (Задача-исследование.) Верно ли, что если простое число, большее трёх, то зна- чение выражения р² – 1 кратно 12. 1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах. Рис. 73 2) Разложите многочлен р² – 1 на множители. Обсудите, поче- му полученное произведение кратно 4. 3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3. 4) Сделайте вывод.

Ответ:

897. Представьте в виде произведения: a) \[(2x + y)^2 - (x - 2y)^2 = (2x + y + x - 2y)(2x + y - (x - 2y)) = (3x - y)(2x + y - x + 2y) = (3x - y)(x + 3y)\]

б) \[(a + b)^2 - (b + c)^2 = (a + b + b + c)(a + b - (b + c)) = (a + 2b + c)(a + b - b - c) = (a + 2b + c)(a - c)\]

в) \[(m + n)^2 - (m - n)^2 = (m + n + m - n)(m + n - (m - n)) = (2m)(m + n - m + n) = 2m(2n) = 4mn\]

г) \[(4c - x)^2 - (2c + 3x)^2 = (4c - x + 2c + 3x)(4c - x - (2c + 3x)) = (6c + 2x)(4c - x - 2c - 3x) = (6c + 2x)(2c - 4x) = 2(3c + x)2(c - 2x) = 4(3c + x)(c - 2x)\]

д) \[(5c - 3d)^2 - 9d^2 = (5c - 3d + 3d)(5c - 3d - 3d) = (5c)(5c - 6d)\]

e) \(a^4 - (9b + a^2)^2 = (a^2 + 9b + a^2)(a^2 - (9b + a^2)) = (2a^2 + 9b)(a^2 - 9b - a^2) = (2a^2 + 9b)(-9b) = -9b(2a^2 + 9b)\)

898. а) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения \[(4n + 5)^2 - 9\] делится на 4.

\[(4n + 5)^2 - 9 = 16n^2 + 40n + 25 - 9 = 16n^2 + 40n + 16 = 4(4n^2 + 10n + 4)\]

Так как выражение можно представить в виде 4, умноженного на целое число, то оно делится на 4.

б) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения \[(n + 7)^2 - n^2\] делится на 7.

\[(n + 7)^2 - n^2 = n^2 + 14n + 49 - n^2 = 14n + 49 = 7(2n + 7)\]

Так как выражение можно представить в виде 7, умноженного на целое число, то оно делится на 7.

899. На сторонах прямоугольника построены квадраты (рис. 73). Площадь одного квадрата на 95 см² больше площади другого. Найдите периметр прямоугольника, если известно, что длина прямоугольника на 5 см больше его ширины.

Пусть x - длина прямоугольника, y - ширина прямоугольника.

Тогда, согласно условию:

• Площадь одного квадрата на 95 см² больше площади другого, то есть \(x^2 - y^2 = 95\).
• Длина прямоугольника на 5 см больше его ширины, то есть \(x = y + 5\).

Подставим выражение для x во первое уравнение:

\[(y + 5)^2 - y^2 = 95\] \[y^2 + 10y + 25 - y^2 = 95\] \[10y + 25 = 95\] \[10y = 70\] \[y = 7\]

Теперь найдем x:

\(x = y + 5 = 7 + 5 = 12\)

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

\(P = 2(x + y) = 2(12 + 7) = 2(19) = 38\)

900. (Задача-исследование.) Верно ли, что если p – простое число, большее трёх, то значение выражения p² – 1 кратно 12.

1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.

• Пусть p = 5 (простое число больше 3). Тогда \(p^2 - 1 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24\). 24 кратно 12, так как \(24 \div 12 = 2\).
• Пусть p = 7 (простое число больше 3). Тогда \(p^2 - 1 = 7^2 - 1 = 49 - 1 = 48\). 48 кратно 12, так как \(48 \div 12 = 4\).
• Пусть p = 11 (простое число больше 3). Тогда \(p^2 - 1 = 11^2 - 1 = 121 - 1 = 120\). 120 кратно 12, так как \(120 \div 12 = 10\).

2) Разложите многочлен p² – 1 на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.

\(p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)\)

Так как p – простое число больше 3, то p – нечетное число. Тогда (p - 1) и (p + 1) – два последовательных четных числа. Одно из этих чисел обязательно делится на 4, а другое делится на 2. Поэтому их произведение делится на 8.

3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.

Так как p – простое число больше 3, то p не делится на 3. Значит, p при делении на 3 дает остаток 1 или 2. Если p дает остаток 1, то p - 1 делится на 3. Если p дает остаток 2, то p + 1 делится на 3. В любом случае, одно из чисел (p - 1) или (p + 1) делится на 3.

4) Сделайте вывод.

Если p – простое число, большее трёх, то значение выражения p² – 1 кратно 12.

Ответ: Если p – простое число, большее трёх, то значение выражения p² – 1 кратно 12.