B4 (2) LK + LT = 42. LK, LT - ?

Рассмотрим треугольник LKT. Угол MLK = 120 градусов, а угол LKT = 90 градусов. Пусть LK = x, тогда LT = 42 - x (по условию).

Используем тангенс угла MLK, который равен 120 градусов:

$$ tg(120^\circ) = \frac{LK}{LT} $$ $$ tg(120^\circ) = -\sqrt{3} $$

Подставим известные значения:

$$-\sqrt{3} = \frac{x}{42 - x}$$

Решим уравнение:

$$x = -\sqrt{3}(42 - x)$$ $$x = -42\sqrt{3} + x\sqrt{3}$$ $$x - x\sqrt{3} = -42\sqrt{3}$$ $$x(1 - \sqrt{3}) = -42\sqrt{3}$$ $$x = \frac{-42\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{42\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$$x = \frac{42\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{42(3 + \sqrt{3})}{3 - 1} = \frac{42(3 + \sqrt{3})}{2} = 21(3 + \sqrt{3}) = 63 + 21\sqrt{3}$$

Значит, LK = $$63 + 21\sqrt{3}$$.

Найдем LT:

$$LT = 42 - x = 42 - (63 + 21\sqrt{3}) = 42 - 63 - 21\sqrt{3} = -21 - 21\sqrt{3}$$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то в условии задачи есть ошибка.