B-1 1. ABCD - параллелограмм (рис. 1), ∠B+ ∠D=220° Найдите угол А. 2. ABCD — прямоугольник, BD = 18 см, АВ = 10 см. Найди- те периметр треугольника СOD, где О - точка пересече- ния диагоналей. 3. Периметр ромба ABCD равен 44 см, ∠A = 120°. Найдите среднюю линию МК треугольника АВС, где МЄАВ, K∈ BC. 4. В трапеции ABCD (рис. 2) BK || CD, AK = 12 см, ВС= 8 см, РАВК = 32 см. Найдите: а) среднюю линию трапеции; б) периметр трапеции. 5. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, отрезки MK || BC (K∈ AB), KN || AC (N∈ BC). Найдите пери- метр четырехугольника AKNC, если КВ = 8 см, АМ = 9 см, BN = 7 см.

1. ABCD – параллелограмм, ∠B+ ∠D=220°. Найдите угол А. В параллелограмме противоположные углы равны, то есть ∠B = ∠D. Тогда ∠B + ∠D = 2∠B = 220°. Отсюда, ∠B = 220° / 2 = 110°. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, то есть ∠A + ∠B = 180°. Следовательно, ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. Ответ: ∠A = 70°. 2. ABCD — прямоугольник, BD = 18 см, АВ = 10 см. Найдите периметр треугольника СOD, где О - точка пересечения диагоналей. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, CO = OD = BD / 2 = 18 см / 2 = 9 см. Так как ABCD - прямоугольник, то CD = AB = 10 см. Периметр треугольника COD равен CO + OD + CD = 9 см + 9 см + 10 см = 28 см. Ответ: периметр треугольника COD равен 28 см. 3. Периметр ромба ABCD равен 44 см, ∠A = 120°. Найдите среднюю линию МК треугольника АВС, где МЄАВ, K∈ BC. В ромбе все стороны равны. Следовательно, AB = BC = CD = DA = P / 4 = 44 см / 4 = 11 см. МК - средняя линия треугольника ABC, значит, она равна половине стороны AC, то есть MK = AC / 2. Так как ∠A = 120°, то ∠B = 180° - 120° = 60° (сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°). Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), а угол при вершине равен 60°, значит, это равносторонний треугольник, и AC = AB = BC = 11 см. Тогда MK = AC / 2 = 11 см / 2 = 5,5 см. Ответ: средняя линия MK равна 5,5 см. 4. В трапеции ABCD (рис. 2) BK || CD, AK = 12 см, ВС= 8 см, P_ABK = 32 см. Найдите: а) среднюю линию трапеции; б) периметр трапеции. а) Рассмотрим трапецию ABCD, в которой BK || CD. Значит, BC = DK = 8 см. Так как P_ABK = 32 см, то AB + BK + AK = 32 см. Отсюда, AB + BK = 32 см - AK = 32 см - 12 см = 20 см. Рассмотрим четырехугольник BCDB. BC || CD и BK || CD, следовательно, BCDK – параллелограмм, значит DK = BC = 8 см и CD = BK. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть (AD + BC) / 2. AD = AK + KD = 12 см + 8 см = 20 см. Средняя линия = (20 см + 8 см) / 2 = 28 см / 2 = 14 см. Ответ: средняя линия трапеции равна 14 см. б) Для нахождения периметра трапеции необходимо знать длины всех сторон: AB, BC, CD, AD. AD = 20 см, BC = 8 см. CD = BK = 20 см - AB. Тогда периметр трапеции ABCD равен AB + BC + CD + AD = AB + 8 см + (20 см - AB) + 20 см = 48 см. Ответ: периметр трапеции равен 48 см. 5. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, отрезки MK || BC (K∈ AB), KN || AC (N∈ BC). Найдите периметр четырехугольника AKNC, если КВ = 8 см, АМ = 9 см, BN = 7 см. Так как BM - медиана, то AM = MC = 9 см. KN || AC, следовательно, AKNC – параллелограмм, значит, AK = NC и AK = KC. MK || BC, следовательно, BMK подобен треугольнику BAC, значит, BK / BA = BM / BC = KM / AC. Пусть AK = x, тогда AC = 2 * AM = 18, AB = AK + KB = x + 8. Так как MK || BC и KN || AC, то BMKC и AKNC - параллелограммы. NC = AK = x, KM = NC = x. Рассмотрим треугольник ABC. Так как KN || AC, то треугольники BKN и BAC подобны. Тогда BK / BA = BN / BC = KN / AC. 8 / (x + 8) = 7 / BC = KN / 18. KN = AC - KC = 18 - x Периметр AKNC = 2 * (AK + KN) = 2 * (x + KN) = 2 * (x + 18 - x) = 2 * 18 = 36. Ответ: периметр четырехугольника AKNC равен 36 см.