б) Докажите, что многочлен \(x^{2n+1}+a^{2n+1}\) (\(n\in\mathbb N\)) делится на многочлен \((x+a)\) и найдите частное от деления.

Используем формулу суммы нечётных степеней:

\[x^{2n+1}+a^{2n+1}=(x+a)(x^{2n}-x^{2n-1}a+x^{2n-2}a^2-\dots-xa^{2n-1}+a^{2n}).\]

При раскрытии скобок соседние слагаемые взаимно уничтожаются, остаются только \(x^{2n+1}+a^{2n+1}\). Значит, многочлен делится на \(x+a\).

Ответ: \[\frac{x^{2n+1}+a^{2n+1}}{x+a}=x^{2n}-x^{2n-1}a+x^{2n-2}a^2-\dots-xa^{2n-1}+a^{2n}.\]