б) Докажите, что произведение чисел \((a+5)(a+9)\) для любого целого числа \(a\) либо делится на 5, либо при делении на 5 даёт остаток 1 или 2.

Числа \(a+5\) и \(a+9\) отличаются на 4, а значит, по модулю 5 второе число сравнимо с первым на \(-1\): \(a+9\equiv a+5-1\pmod5\).

Обозначим остаток от деления \(a+5\) на 5 через \(r\), где \(r\in\{0,1,2,3,4\}\). Тогда произведение сравнимо с \(r(r-1)\) по модулю 5:

\(r=0\) или \(r=1\): остаток 0; \(r=2\) или \(r=4\): остаток 2; \(r=3\): остаток 1.

Следовательно, произведение либо делится на 5, либо при делении на 5 даёт остаток 1 или 2.