B) \(\frac{4}{9y^2-1}-\frac{4}{3y+1}=\frac{5}{1-3y}\)

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю. Заметим, что \( 9y^2-1 = (3y-1)(3y+1) \) и \( 1-3y = -(3y-1) \).

1. Общий знаменатель: \( (3y-1)(3y+1) \).
2. Перепишем уравнение: \[ \frac{4}{(3y-1)(3y+1)} - \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{-(3y-1)} \]
3. Домножим вторую дробь на \( (3y-1) \) и третью на \( (3y+1) \): \[ \frac{4}{(3y-1)(3y+1)} - \frac{4(3y-1)}{(3y-1)(3y+1)} = -\frac{5(3y+1)}{(3y-1)(3y+1)} \]
4. Раскроем скобки в числителях: \[ \frac{4 - (12y-4)}{9y^2-1} = \frac{-15y-5}{9y^2-1} \]
5. Упростим числитель левой части: \[ \frac{4 - 12y + 4}{9y^2-1} = \frac{8 - 12y}{9y^2-1} \]
6. Приравняем числители: \[ 8 - 12y = -15y - 5 \]
7. Перенесём члены с \( y \) в одну сторону, а числа — в другую: \[ -12y + 15y = -5 - 8 \]
8. Упростим: \[ 3y = -13 \]
9. Найдём \( y \): \[ y = -\frac{13}{3} \]

Проверим, что знаменатель не равен нулю при \( y = -\frac{13}{3} \):

\( 9y^2-1 = 9(-\frac{13}{3})^2 - 1 = 9(\frac{169}{9}) - 1 = 169 - 1 = 168 \neq 0 \)

\( 3y+1 = 3(-\frac{13}{3}) + 1 = -13 + 1 = -12 \neq 0 \)

\( 1-3y = 1 - 3(-\frac{13}{3}) = 1 + 13 = 14 \neq 0 \)

Ответ: \( y = -\frac{13}{3} \).