б) Камень массой 400 кг бросают вертикально вверх с начальной скоростью 10 м/с. Какова начальная кинетическая энергия камня? Какова потенциальная энергия камня на максимальной высоте? Какова максимальная высота подъема камня? Какой была скорость камня на половине максимальной высоты? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение:

Для решения этой задачи будем использовать законы сохранения энергии и кинематические уравнения движения.

Дано:

• Масса камня, m = 400 кг
• Начальная скорость, v₀ = 10 м/с
• Ускорение свободного падения, g ≈ 10 м/с² (для упрощения расчетов)

1. Начальная кинетическая энергия (E_k₀):

Начальная кинетическая энергия рассчитывается по формуле:

\[ E_{k₀} = \frac{1}{2} m v₀^2 \]

Подставляем значения:

\[ E_{k₀} = \frac{1}{2} \times 400 \text{ кг} \times (10 \text{ м/с})^2 = \frac{1}{2} \times 400 \times 100 = 20000 \text{ Дж} \]

2. Потенциальная энергия на максимальной высоте (E_p_max):

По закону сохранения энергии, вся начальная кинетическая энергия перейдет в потенциальную энергию на максимальной высоте (так как начальная потенциальная энергия равна нулю, если принять уровень броска за нулевой уровень).

\[ E_{p_{max}} = E_{k₀} \]

\[ E_{p_{max}} = 20000 \text{ Дж} \]

3. Максимальная высота подъема (h_max):

Потенциальная энергия на максимальной высоте связана с высотой формулой:

\[ E_{p_{max}} = m g h_{max} \]

Отсюда находим высоту:

\[ h_{max} = \frac{E_{p_{max}}}{m g} = \frac{20000 \text{ Дж}}{400 \text{ кг} \times 10 \text{ м/с}²} = \frac{20000}{4000} = 5 \text{ м} \]

4. Скорость камня на половине максимальной высоты (v_half):

Половина максимальной высоты: h_half = h_max / 2 = 5 м / 2 = 2.5 м.

На этой высоте камень обладает как кинетической, так и потенциальной энергией. Суммарная энергия равна начальной кинетической энергии:

\[ E_{k₀} = E_{k_{half}} + E_{p_{half}} \]

\[ E_{k_{half}} = \frac{1}{2} m v_{half}^2 \]

\[ E_{p_{half}} = m g h_{half} = 400 \text{ кг} \times 10 \text{ м/с}² \times 2.5 \text{ м} = 10000 \text{ Дж} \]

Теперь найдем кинетическую энергию на этой высоте:

\[ E_{k_{half}} = E_{k₀} - E_{p_{half}} = 20000 \text{ Дж} - 10000 \text{ Дж} = 10000 \text{ Дж} \]

Теперь найдем скорость:

\[ \frac{1}{2} m v_{half}^2 = 10000 \text{ Дж} \]

\[ v_{half}^2 = \frac{2 \times 10000 \text{ Дж}}{400 \text{ кг}} = \frac{20000}{400} = 50 \text{ (м/с)}² \]

\[ v_{half} = \sqrt{50} \text{ м/с} \approx 7.07 \text{ м/с} \]

Ответ:

• Начальная кинетическая энергия камня: 20000 Дж.
• Потенциальная энергия камня на максимальной высоте: 20000 Дж.
• Максимальная высота подъема камня: 5 м.
• Скорость камня на половине максимальной высоты: \[ \approx 7.07 \text{ м/с} \].