B) logₓ√3 = -1;

Ответ: x = 1/3

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Запишем уравнение в показательной форме: \[x^{-1} = \sqrt{3}\]
• Шаг 2: Избавимся от отрицательной степени, представив левую часть как дробь: \[\frac{1}{x} = \sqrt{3}\]
• Шаг 3: Выразим x, взяв обратную величину от обеих частей: \[x = \frac{1}{\sqrt{3}}\]
• Шаг 4: Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[x = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]
• Шаг 5: Выразим \(\sqrt{3}\) как \(3^{\frac{1}{2}}\) и подставим в выражение: \[x = \frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^1} = 3^{\frac{1}{2} - 1} = 3^{-\frac{1}{2}}\]
• Шаг 6: Вернемся к исходному виду и вспомним, что по условию \(log_x\sqrt{3} = -1\), это значит, что \(x^{-1} = \sqrt{3}\). Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня и получить целое число: \[(x^{-1})^2 = (\sqrt{3})^2 \Rightarrow x^{-2} = 3\]
• Шаг 7: Теперь выразим \(x^2\), для этого перевернем дробь: \[x^2 = \frac{1}{3}\]
• Шаг 8: Извлечем квадратный корень из обеих частей: \[x = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\]
• Шаг 9: Повторим шаг 4, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: \[x = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]
• Шаг 10: Проверим, что \(log_{\frac{\sqrt{3}}{3}} \sqrt{3} = -1\). Заменим \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) на \(3^{-\frac{1}{2}}\) и \(\sqrt{3}\) на \(3^{\frac{1}{2}}\): \[log_{3^{-\frac{1}{2}}} 3^{\frac{1}{2}} = -1\] Это верно, так как \((3^{-\frac{1}{2}})^{-1} = 3^{\frac{1}{2}}\)

Ответ: x = 1/3