Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз. 1 / sqrt(10) + sqrt(7)

Решение:

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби \( \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} \), нужно умножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Сопряженное число к \( \sqrt{10} + \sqrt{7} \) — это \( \sqrt{10} - \sqrt{7} \).

1. Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{10} - \sqrt{7} \):
   $$ \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{\sqrt{10} - \sqrt{7}} $$
2. Применим формулу разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) в знаменателе:
   $$ \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{7})^2} $$
3. Вычислим квадраты корней:
   $$ \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{10 - 7} $$
4. Вычтем значения в знаменателе:
   $$ \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{3} $$

Ответ: \( \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{3} \).