Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз. \(\frac{\sqrt{13}+\sqrt{6}}{\sqrt{13}-\sqrt{6}}\)

Решение:

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя, то есть на \( \sqrt{13}+\sqrt{6} \).

\( \frac{\sqrt{13}+\sqrt{6}}{\sqrt{13}-\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{13}+\sqrt{6}}{\sqrt{13}+\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{13}+\sqrt{6})^2}{(\sqrt{13})^2 - (\sqrt{6})^2} \)

Раскроем квадрат в числителе по формуле \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \):

\( (\sqrt{13}+\sqrt{6})^2 = (\sqrt{13})^2 + 2\sqrt{13}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 13 + 2\sqrt{78} + 6 = 19 + 2\sqrt{78} \)

Вычислим знаменатель:

\( (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{6})^2 = 13 - 6 = 7 \)

Таким образом, дробь примет вид:

\( \frac{19 + 2\sqrt{78}}{7} \)

Можно записать как:

\( \frac{19}{7} + \frac{2\sqrt{78}}{7} \)

Ответ: \( \frac{19 + 2\sqrt{78}}{7} \)