Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз. Жауабыңыз: 69 / (2√6 - 1)

Решение:

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби \( \frac{69}{2\sqrt{6}-1} \), умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на \( 2\sqrt{6}+1 \).

\( \frac{69}{2\sqrt{6}-1} \times \frac{2\sqrt{6}+1}{2\sqrt{6}+1} = \frac{69(2\sqrt{6}+1)}{(2\sqrt{6})^2 - 1^2} \)

Раскроем скобки в знаменателе, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):

\( (2\sqrt{6})^2 - 1^2 = 2^2 \times (\sqrt{6})^2 - 1 = 4 \times 6 - 1 = 24 - 1 = 23 \)

Теперь подставим полученное значение обратно в дробь:

\( \frac{69(2\sqrt{6}+1)}{23} \)

Сократим числитель и знаменатель на 23:

\( \frac{69}{23} (2\sqrt{6}+1) = 3 (2\sqrt{6}+1) \)

Раскроем скобки:

\( 3 \times 2\sqrt{6} + 3 \times 1 = 6\sqrt{6} + 3 \)

Ответ: \( 6\sqrt{6} + 3 \).