Бөлшекті қысқартыңыз: \(\frac{x+2\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)

Решение:

Дан дробь \(\frac{x+2\sqrt{xy}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\). Для её упрощения заметим, что числитель является полным квадратом суммы:

\( x + 2\sqrt{xy} + y = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \)

Теперь подставим это в исходную дробь:

\[\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\]

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\) (при условии, что \(\sqrt{x} + \sqrt{y} \neq 0\), что верно, так как \(x\) и \(y\) обычно подразумеваются неотрицательными, и хотя бы одно из них должно быть положительным для существования дроби).

\[\sqrt{x} + \sqrt{y}\]

Ответ: \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\)