Б. Найдите длину вектора $\vec a$. 1) $\triangle ABC$ — прямоугольный: $AB=3$, $AC=3$, вектор $\vec a$ направлен вдоль $AC$. 2) $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AB=BC=5$, $\angle B=60^\circ$, вектор $\vec a$ направлен вдоль $AC$. 3) $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AC=6$, $BH\perp AC$, вектор $\vec a$ направлен вдоль $AH$. 4) В треугольнике $ABC$ отрезок, соединяющий середины боковых сторон, обозначен $\vec a$, $AC=12$. 5) В треугольнике $ABC$: $AB=8$, $BC=6$, $AC=10$; отрезок из вершины $B$ к середине основания обозначен $\vec a$. 6) В треугольнике $ABC$, $BC=11$, точка $M$ — середина $AC$, $BM$ — биссектриса, вектор $\vec a$ направлен вдоль $AB$. 7) В треугольнике $ABC$ отрезок, соединяющий середины боковых сторон, обозначен $\vec a$, $AC=12$. 8) $ABCD$ — четырёхугольник с равными сторонами, $AB=6$, вектор $\vec a$ направлен вдоль $AD$. 9) $ABCD$ — четырёхугольник с равными сторонами, $AB=6$, вектор $\vec a$ направлен вдоль $CD$. 10) $ABCD$ — параллелограмм, диагонали перпендикулярны, $CD=5$, вектор $\vec a$ направлен вдоль $AD$. 11) $ABCD$ — параллелограмм, $AB=12$, $BC=16$, $BD=AC$, точка $O$ — точка пересечения диагоналей, вектор $\vec a$ направлен вдоль $AO$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Б. Найдите длину вектора $\vec a$. 1) $\triangle ABC$ — прямоугольный: $AB=3$, $AC=3$, вектор $\vec a$ направлен…$ Фото задания

Б. Найдите длину вектора $\vec a$. 1) $\triangle ABC$ — прямоугольный: $AB=3$, $AC=3$, вектор $\vec a$ направлен вдоль $AC$. 2) $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AB=BC=5$, $\angle B=60^\circ$, вектор $\vec a$ направлен вдоль $AC$. 3) $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AC=6$, $BH\perp AC$, вектор $\vec a$ направлен вдоль $AH$. 4) В треугольнике $ABC$ отрезок, соединяющий середины боковых сторон, обозначен $\vec a$, $AC=12$. 5) В треугольнике $ABC$: $AB=8$, $BC=6$, $AC=10$; отрезок из вершины $B$ к середине основания обозначен $\vec a$. 6) В треугольнике $ABC$, $BC=11$, точка $M$ — середина $AC$, $BM$ — биссектриса, вектор $\vec a$ направлен вдоль $AB$. 7) В треугольнике $ABC$ отрезок, соединяющий середины боковых сторон, обозначен $\vec a$, $AC=12$. 8) $ABCD$ — четырёхугольник с равными сторонами, $AB=6$, вектор $\vec a$ направлен вдоль $AD$. 9) $ABCD$ — четырёхугольник с равными сторонами, $AB=6$, вектор $\vec a$ направлен вдоль $CD$. 10) $ABCD$ — параллелограмм, диагонали перпендикулярны, $CD=5$, вектор $\vec a$ направлен вдоль $AD$. 11) $ABCD$ — параллелограмм, $AB=12$, $BC=16$, $BD=AC$, точка $O$ — точка пересечения диагоналей, вектор $\vec a$ направлен вдоль $AO$.

Accepted Answer

Вектор совпадает со стороной $AC$: $\left|\vec a\right|=AC=3$.
В равнобедренном треугольнике $AB=BC=5$, а угол при вершине равен $60^\circ$. Следовательно, треугольник равносторонний: $AC=5$. Поэтому $\left|\vec a\right|=5$.
В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой: $AH=HC=AC:2=6:2=3$. Поэтому $\left|\vec a\right|=3$.
Средняя линия треугольника равна половине основания: $\left|\vec a\right|=12:2=6$.
Длина медианы к стороне $AC$: \[m_b=\frac12\sqrt{2AB^2+2BC^2-AC^2}=\frac12\sqrt{2\cdot8^2+2\cdot6^2-10^2}=\frac12\sqrt{100}=5.\] Поэтому $\left|\vec a\right|=5$.
По теореме о биссектрисе: $\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MC}=1$. Значит, $AB=BC=11$, поэтому $\left|\vec a\right|=11$.
Средняя линия треугольника равна половине основания: $\left|\vec a\right|=12:2=6$.
У четырёхугольника все стороны равны, поэтому $AD=AB=6$. Следовательно, $\left|\vec a\right|=6$.
Противоположные стороны равногостороннего четырёхугольника равны: $CD=AB=6$. Поэтому $\left|\vec a\right|=6$.
Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Все его стороны равны, поэтому $AD=CD=5$. Следовательно, $\left|\vec a\right|=5$.
Так как диагонали параллелограмма равны, это прямоугольник. Диагональ $AC$: \[AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{400}=20.\] Диагонали делятся пополам, поэтому $AO=AC:2=10$. Следовательно, $\left|\vec a\right|=10$.

Ответ: 1) 3; 2) 5; 3) 3; 4) 6; 5) 5; 6) 11; 7) 6; 8) 6; 9) 6; 10) 5; 11) 10.