б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [\(-\frac{9\pi}{2}\); \(-3\pi\)].

Решение:

Найдем значения \( k \), при которых корни \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) принадлежат отрезку \( [-\frac{9\pi}{2}; -3\pi] \).

1. Запишем неравенство: \( -\frac{9\pi}{2} \leq \frac{\pi}{4} + \pi k \leq -3\pi \).
2. Вычтем \( \frac{\pi}{4} \) из всех частей неравенства: \( -\frac{9\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \leq \pi k \leq -3\pi - \frac{\pi}{4} \).
3. Приведём к общему знаменателю: \( -\frac{18\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \leq \pi k \leq -\frac{12\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \).
4. Получим: \( -\frac{19\pi}{4} \leq \pi k \leq -\frac{13\pi}{4} \).
5. Разделим все части на \( \pi \): \( -\frac{19}{4} \leq k \leq -\frac{13}{4} \).
6. Преобразуем в десятичные дроби: \( -4.75 \leq k \leq -3.25 \).
7. Так как \( k \) — целое число, возможные значения \( k \): \( k = -4 \) и \( k = -3 \).
8. Подставим найденные значения \( k \) в формулу корня \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \):
• При \( k = -4 \): \( x = \frac{\pi}{4} + \pi(-4) = \frac{\pi}{4} - 4\pi = \frac{\pi - 16\pi}{4} = -\frac{15\pi}{4} \).
• При \( k = -3 \): \( x = \frac{\pi}{4} + \pi(-3) = \frac{\pi}{4} - 3\pi = \frac{\pi - 12\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4} \).

Ответ: \(-\frac{15\pi}{4}\); \(-\frac{11\pi}{4}\).