Б) Найдите неизвестные величины. 1) На рисунке ∠EBD = 90°, ∠DBC = 34°, точки A, B, C лежат на одной прямой. Найдите ∠EBA. 2) ∠ABE на 12° меньше ∠EBD, ∠DBC = 52°, точки A, B, C лежат на одной прямой. Найдите ∠CBE. 3) На рисунке ∠BOD = 56°, OE ⟂ OD, OB ⟂ OF. Найдите ∠EOF. 4) На рисунке прямые AB, EF и CD пересекаются в O; отмеченные дугами углы ∠AOE, ∠DOB и ∠COF равны. Найдите ∠COE. 5) 7 · ∠DOB = 3 · ∠AOD; точки A, O, B лежат на одной прямой, точки C, O, D — на другой. Найдите ∠COA. 6) OA — биссектриса угла BOD, OD — биссектриса угла AOC; ∠EOB = 72°, точки E, O, C лежат на одной прямой. Найдите ∠BOD.

Так как A, B, C лежат на прямой, углы EBA, EBD и DBC составляют 180°.

∠EBA = 180° − 90° − 34° = 56°.

Ответ: ∠EBA = 56°.

Обозначим ∠ABE = x°. Тогда ∠EBD = (x + 12)°. Углы ABE, EBD и DBC составляют развёрнутый угол:

x + (x + 12) + 52 = 180,

2x = 116, поэтому x = 58. Следовательно, ∠CBE = ∠CBD + ∠DBE = 52° + 70° = 122°.

Ответ: ∠CBE = 122°.

Поскольку OE ⟂ OD, ∠EOD = 90°. Тогда ∠EOB = ∠EOD + ∠DOB = 90° + 56° = 146°. Лучи OB и OF противоположны, поэтому

∠EOF = 180° − 146° = 34°.

Ответ: ∠EOF = 34°.

Вертикальные углы равны, поэтому ∠COA = ∠DOB. По рисунку ∠AOE = ∠DOB и ∠COF = ∠DOB. Значит, три угла, образующие развёрнутый угол AOD, равны; каждый равен 60°. Тогда ∠COE = ∠COA + ∠AOE = 60° + 60° = 120°.

Ответ: ∠COE = 120°.

Обозначим ∠DOB за x°. Смежный с ним угол ∠AOD равен (180 − x)°.

7x = 3(180 − x), поэтому 10x = 540 и x = 54.

∠COA и ∠DOB — вертикальные углы, следовательно, они равны.

Ответ: ∠COA = 54°.

Поскольку EOC — развёрнутый угол, ∠BOC = 180° − 72° = 108°.

Пусть ∠BOD = x°. OA — биссектриса ∠BOD, поэтому ∠BOA = ∠AOD = x/2. OD — биссектриса ∠AOC, поэтому ∠DOC = ∠AOD = x/2.

Значит, ∠BOC = ∠BOA + ∠AOD + ∠DOC = 3x/2. Тогда 3x/2 = 108°, откуда x = 72°.

Ответ: ∠BOD = 72°.