б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Найдем корни уравнения \( \cos(x) = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \), принадлежащие отрезку \( [2\pi; \frac{7\pi}{2}] \).

Рассмотрим первую серию решений: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \)

Если \( n = 2 \), то \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi(2) = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} \). \( \frac{25\pi}{6} \) находится в отрезке \( [2\pi; \frac{7\pi}{2}] \), так как \( 2\pi = \frac{12\pi}{6} \) и \( \frac{7\pi}{2} = \frac{21\pi}{6} \). \( \frac{25\pi}{6} > \frac{21\pi}{6} \) - этот корень не подходит.
Если \( n = 2 \), то \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi(2) = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6} \). \( \frac{23\pi}{6} \) находится в отрезке \( [2\pi; \frac{7\pi}{2}] \), так как \( \frac{12\pi}{6} \le \frac{23\pi}{6} \le \frac{21\pi}{6} \) - это неверно, \( \frac{23\pi}{6} > \frac{21\pi}{6} \) - этот корень не подходит.
Попробуем \( n = 1 \). \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \). \( \frac{13\pi}{6} \) находится в отрезке \( [2\pi; \frac{7\pi}{2}] \), так как \( 2\pi = \frac{12\pi}{6} \) и \( \frac{7\pi}{2} = \frac{21\pi}{6} \), и \( \frac{12\pi}{6} \le \frac{13\pi}{6} \le \frac{21\pi}{6} \). Этот корень подходит.
\( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \). Этот корень не входит в отрезок \( [2\pi; \frac{7\pi}{2}] \), так как \( \frac{11\pi}{6} < 2\pi \).

Рассмотрим вторую серию решений: \( x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \)

Если \( n = 2 \), то \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi(2) = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \). \( \frac{29\pi}{6} \) не входит в отрезок \( [2\pi; \frac{7\pi}{2}] \), так как \( \frac{29\pi}{6} > \frac{21\pi}{6} \).
Если \( n = 2 \), то \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi(2) = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6} \). \( \frac{19\pi}{6} \) находится в отрезке \( [2\pi; \frac{7\pi}{2}] \), так как \( 2\pi = \frac{12\pi}{6} \) и \( \frac{7\pi}{2} = \frac{21\pi}{6} \), и \( \frac{12\pi}{6} \le \frac{19\pi}{6} \le \frac{21\pi}{6} \). Этот корень подходит.
Если \( n = 1 \), то \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \). \( \frac{17\pi}{6} \) находится в отрезке \( [2\pi; \frac{7\pi}{2}] \), так как \( \frac{12\pi}{6} \le \frac{17\pi}{6} \le \frac{21\pi}{6} \). Этот корень подходит.
\( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6} \). Этот корень не входит в отрезок \( [2\pi; \frac{7\pi}{2}] \), так как \( \frac{7\pi}{6} < 2\pi \).

\( \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6} \).