б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]\)

Решение:

Рассмотрим три случая для корней, найденных в пункте а), и найдём те, которые попадают в отрезок \([-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]\).

1. Случай 1: \(x = \pi k\)
• \(k = -1\): \(x = -\pi\) (не принадлежит отрезку).
• \(k = -2\): \(x = -2\pi\) (принадлежит отрезку).
• \(k = -3\): \(x = -3\pi\) (принадлежит отрезку).
• \(k = -4\): \(x = -4\pi\) (не принадлежит отрезку).
2. Случай 2: \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\)
• \(n = -1\): \(x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi - 8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4}\). Значение \(-\frac{7\pi}{4} = -1.75\pi\). \(-3\pi \le -1.75\pi \le -1.5\pi\) — верно. (принадлежит отрезку).
• \(n = -2\): \(x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = \frac{\pi - 16\pi}{4} = -\frac{15\pi}{4}\). Значение \(-\frac{15\pi}{4} = -3.75\pi\) (не принадлежит отрезку).
3. Случай 3: \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\)
• \(n = -1\): \(x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = \frac{3\pi - 8\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}\). Значение \(-\frac{5\pi}{4} = -1.25\pi\) (не принадлежит отрезку, так как \(-1.25\pi > -1.5\pi\)).
• \(n = -2\): \(x = \frac{3\pi}{4} - 4\pi = \frac{3\pi - 16\pi}{4} = -\frac{13\pi}{4}\). Значение \(-\frac{13\pi}{4} = -3.25\pi\) (не принадлежит отрезку).

Проверим границы отрезка: \(-\frac{3\pi}{2} = -1.5\pi\).

Перечислим корни, принадлежащие отрезку \([-3\pi; -1.5\pi]\): \(-3\pi\), \(-2\pi\), \(-\frac{7\pi}{4}\).

Ответ: \(-3\pi\), \(-2\pi\), \(-\frac{7\pi}{4}\).