б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π/2; -π].

Решение:

Мы нашли корни уравнения в виде \( x = \frac{\pi}{6} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). Теперь нам нужно найти значения \( k \), при которых корни принадлежат отрезку \( [-\frac{5\pi}{2}; -\pi] \).

Составим неравенство:

\( -\frac{5\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} + \pi k \le -\pi \)

Разделим все части на \( \pi \) (так как \( \pi > 0 \), знак неравенства не меняется):

\( -\frac{5}{2} \le \frac{1}{6} + k \le -1 \)

Вычтем \( \frac{1}{6} \) из всех частей:

\( -\frac{5}{2} - \frac{1}{6} \le k \le -1 - \frac{1}{6} \)

Приведём к общему знаменателю:

\( -\frac{15}{6} - \frac{1}{6} \le k \le -\frac{6}{6} - \frac{1}{6} \)

\( -\frac{16}{6} \le k \le -\frac{7}{6} \)

Упростим дроби:

\( -\frac{8}{3} \le k \le -\frac{7}{6} \)

Переведём в десятичную дробь:

\( -2.66... \le k \le -1.16... \)

Поскольку \( k \) — целое число, возможные значения \( k \) — это \( -2 \) и \( -1 \).

Теперь найдём соответствующие корни:

• При \( k = -2 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \pi (-2) = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6} \).
• При \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \pi (-1) = \frac{\pi}{6} - \pi = \frac{\pi - 6\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \).

Проверим, принадлежат ли эти корни заданному отрезку \( [-\frac{5\pi}{2}; -\pi] \).

• \( -\frac{11\pi}{6} \approx -1.83\pi \), что находится в пределах \( -2.5\pi \le -1.83\pi \le -\pi \).
• \( -\frac{5\pi}{6} \approx -0.83\pi \), что НЕ находится в пределах \( -2.5\pi \le x \le -\pi \).

Однако, при повторной проверке исходного условия, \( -\frac{11\pi}{6} \) находится между \( -1.83\pi \) и \( -\pi \), поэтому \( -\frac{11\pi}{6} \) принадлежит отрезку. Корнем \( -\frac{5\pi}{6} \) не принадлежит отрезку.

Ещё раз проверим неравенство:

\( -2.5 \le \frac{1}{6} + k \le -1 \)

\( -2.5 - 0.166... \le k \le -1 - 0.166... \)

\( -2.66... \le k \le -1.16... \)

Целые значения \( k \) на этом интервале: \( -2 \) и \( -1 \).

При \( k = -2 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -11\frac{\pi}{6} \). Проверим: \( -2.5 \le -11/6 \approx -1.83 \le -1 \). Да, принадлежит.

При \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{6} - \pi = -5\frac{\pi}{6} \). Проверим: \( -2.5 \le -5/6 \approx -0.83 \le -1 \). Нет, не принадлежит.

Возможно, я ошибся в переводе условия. Перепроверим: \( [-\frac{5\pi}{2}; -\pi] \).

\( -\frac{5\pi}{2} = -2.5\pi \).

\( x = \frac{\pi}{6} + \pi k \).

\( -2.5\pi \le \frac{\pi}{6} + \pi k \le -\pi \)

\( -2.5 \le \frac{1}{6} + k \le -1 \)

\( -2.5 - \frac{1}{6} \le k \le -1 - \frac{1}{6} \)

\( -2.5 - 0.166... \le k \le -1 - 0.166... \)

\( -2.66... \le k \le -1.16... \)

Значит \( k = -2 \) является единственным целочисленным значением.

При \( k = -2 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \pi(-2) = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6} \).

Проверка: \( -2.5\pi \le -11\pi/6 \le -\pi \). \( -2.5 \le -11/6 \approx -1.833 \le -1 \). Это верно.

Ответ: \( -\frac{11\pi}{6} \)