б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\( \frac{7\pi}{2} \), \( \frac{9\pi}{2} \)].

Решение:

Найдем корни уравнения \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \), принадлежащие отрезку \( [\frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}] \).

1. Рассмотрим случай \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \):

Нам нужно найти такие целые \( n \), при которых:

\( \frac{7\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{9\pi}{2} \)

Разделим все части неравенства на \( \pi \):

\( \frac{7}{2} \le \frac{1}{4} + 2n \le \frac{9}{2} \)

Вычтем \( \frac{1}{4} \) из всех частей:

\( \frac{7}{2} - \frac{1}{4} \le 2n \le \frac{9}{2} - \frac{1}{4} \)

\( \frac{14}{4} - \frac{1}{4} \le 2n \le \frac{18}{4} - \frac{1}{4} \)

\( \frac{13}{4} \le 2n \le \frac{17}{4} \)

Разделим все части на 2:

\( \frac{13}{8} \le n \le \frac{17}{8} \)

\( 1.625 \le n \le 2.125 \)

Единственное целое число \( n \) в этом интервале — \( n = 2 \).

Подставим \( n = 2 \) в формулу \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \):

\( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi (2) = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{\pi + 16\pi}{4} = \frac{17\pi}{4} \)

2. Рассмотрим случай \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \):

Нам нужно найти такие целые \( n \), при которых:

\( \frac{7\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{9\pi}{2} \)

Разделим все части неравенства на \( \pi \):

\( \frac{7}{2} \le -\frac{1}{4} + 2n \le \frac{9}{2} \)

Прибавим \( \frac{1}{4} \) ко всем частям:

\( \frac{7}{2} + \frac{1}{4} \le 2n \le \frac{9}{2} + \frac{1}{4} \)

\( \frac{14}{4} + \frac{1}{4} \le 2n \le \frac{18}{4} + \frac{1}{4} \)

\( \frac{15}{4} \le 2n \le \frac{19}{4} \)

Разделим все части на 2:

\( \frac{15}{8} \le n \le \frac{19}{8} \)

\( 1.875 \le n \le 2.375 \)

Единственное целое число \( n \) в этом интервале — \( n = 2 \).

Подставим \( n = 2 \) в формулу \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \):

\( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi (2) = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{-\pi + 16\pi}{4} = \frac{15\pi}{4} \)

Проверим, что оба найденных корня принадлежат заданному отрезку:

\( \frac{7\pi}{2} = \frac{14\pi}{4} \) и \( \frac{9\pi}{2} = \frac{18\pi}{4} \).

\( \frac{14\pi}{4} \le \frac{15\pi}{4} \le \frac{18\pi}{4} \)

\( \frac{14\pi}{4} \le \frac{17\pi}{4} \le \frac{18\pi}{4} \)

Оба корня подходят.

Ответ: б) \( \frac{15\pi}{4}, \frac{17\pi}{4} \).