б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \( [-2\pi; -\frac{\pi}{2}] \).

Решение:

Найдем корни из полученных серий, принадлежащие промежутку \( [-2\pi; -\frac{\pi}{2}] \).

• Для серии \( x = \pi (2k+1) \):
• Если \( k = -1 \), то \( x = \pi (2(-1)+1) = -\pi \). Этот корень лежит в промежутке \( [-2\pi; -\frac{\pi}{2}] \).
• Если \( k = -2 \), то \( x = \pi (2(-2)+1) = -3\pi \). Этот корень меньше \( -2\pi \).
• Для серии \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \):
• Если \( n = -1 \), то \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi (-1) = \frac{5\pi - 12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6} \). Этот корень лежит в промежутке \( [-2\pi; -\frac{\pi}{2}] \).
• Если \( n = -2 \), то \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi (-2) = \frac{5\pi - 24\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6} \). Этот корень меньше \( -2\pi \).
• Для серии \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m \):
• Если \( m = -1 \), то \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi (-1) = \frac{7\pi - 12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \). Этот корень не лежит в промежутке \( [-2\pi; -\frac{\pi}{2}] \), так как \( -\frac{5\pi}{6} > -\frac{\pi}{2} \).
• Если \( m = -2 \), то \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi (-2) = \frac{7\pi - 24\pi}{6} = -\frac{17\pi}{6} \). Этот корень лежит в промежутке \( [-2\pi; -\frac{\pi}{2}] \).

Проверим, что \( -2\pi \le -\frac{17\pi}{6} \le -\frac{\pi}{2} \). \( -2 \le -\frac{17}{6} \le -0.5 \). \( -12/6 \le -17/6 \le -3/6 \). Условие выполняется.

Проверим, что \( -2\pi \le -\pi \le -\frac{\pi}{2} \). Условие выполняется.

Проверим, что \( -2\pi \le -\frac{7\pi}{6} \le -\frac{\pi}{2} \). \( -2 \le -7/6 \le -0.5 \). \( -12/6 \le -7/6 \le -3/6 \). Условие выполняется.

Итак, корни, принадлежащие промежутку \( [-2\pi; -\frac{\pi}{2}] \), это \( -\frac{17\pi}{6} \), \( -\pi \), \( -\frac{7\pi}{6} \).

Ответ: -\( \frac{17\pi}{6} \); -\( \pi \); -\( \frac{7\pi}{6} \).