б) Найдите все корни на промежутке [-π/2; π/2].

Решение:

Рассмотрим найденные корни уравнения \( \cos(2x - \frac{7\pi}{2}) = \sin(4x + 3\pi) \) на промежутке \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \).

1. Корни вида \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• При \( n = 0 \): \( x = 0 \). Этот корень принадлежит промежутку \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \).
• При \( n = 1 \): \( x = \pi \). Этот корень не принадлежит промежутку.
• При \( n = -1 \): \( x = -\pi \). Этот корень не принадлежит промежутку.

2. Корни вида \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

• При \( k = -2 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi (-2)}{3} = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi - 4\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} \). Этот корень принадлежит промежутку \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \).
• При \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi (-1)}{3} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi - 2\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} \). Этот корень принадлежит промежутку \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \).
• При \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi (0)}{3} = \frac{\pi}{6} \). Этот корень принадлежит промежутку \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \).
• При \( k = 1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi (1)}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi + 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \). Этот корень принадлежит промежутку \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \).
• При \( k = 2 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi (2)}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 4\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \). Этот корень не принадлежит промежутку.

Ответ: \( -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6}, 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} \).