б) найти корни решения [π, 2π]

Решение:

Нам нужно найти корни уравнения \( x = \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{3} \right) + \pi n \) на промежутке \( [\pi, 2\pi] \).

1. Для \( n=0 \): \( x = \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{3} \right) \). Это значение меньше \( \pi \), поэтому не входит в заданный интервал.
2. Для \( n=1 \): \( x = \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{3} \right) + \pi \). Так как \( \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{3} \right) > 0 \), то \( x > \pi \). Также, \( \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{3} \right) < \frac{\pi}{2} \) (так как \( \frac{1}{3} < 1 \)), следовательно, \( x < \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \). Это значение входит в интервал \( [\pi, 2\pi] \).
3. Для \( n=2 \): \( x = \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{3} \right) + 2\pi \). Это значение больше \( 2\pi \), поэтому не входит в заданный интервал.
4. Для \( n=-1 \): \( x = \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{3} \right) - \pi \). Это значение меньше \( \pi \), поэтому не входит в заданный интервал.

Единственный корень на промежутке \( [\pi, 2\pi] \) — это \( x = \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{3} \right) + \pi \).

Ответ: \( x = \operatorname{arctg} \left( \frac{1}{3} \right) + \pi \).