(b) OABC is a trapezium, where OA is parallel to CB. M is the midpoint of CB, and N is a point on AB such that AN : NB = 1 : 2. O is the origin, OA = p, OC = q and CB = r. (i) Find, in terms of p, q and r: (a) OB; (b) AB; (c) MN. (ii) OA and MN intersect at G. Find the position vector of G in terms of p.

Перевод задания: OABC — трапеция, в которой OA параллельна CB. M — середина CB, а N — точка на AB, такая что AN : NB = 1 : 2. O — начало координат, OA = p, OC = q и CB = r. (i) Найдите через p, q и r: (a) OB; (b) AB; (c) MN. (ii) OA и MN пересекаются в точке G. Найдите радиус-вектор G через p.

(i)

1. (a) OB = OC + CB = q + r.

   OB = OC + CB = q + r.

2. (b) AB = OB − OA = q + r − p.

   AB = OB − OA = q + r − p.

3. (c) Поскольку M — середина CB, CM = ½r. Также AN = ⅓AB, так как AN : NB = 1 : 2.

   Отсюда MN = MC + CA + AN = −½r + (p − q) + ⅓(q + r − p).

   MN = ⅔p − ⅔q − ⅙r.

   Since M is the midpoint of CB, CM = ½r. Also, AN = ⅓AB because AN : NB = 1 : 2.

   Therefore, MN = MC + CA + AN = −½r + (p − q) + ⅓(q + r − p) = ⅔p − ⅔q − ⅙r.

(ii) Точка на MN имеет радиус-вектор OM + tMN. Здесь OM = q + ½r, поэтому

OM + tMN = q + ½r + t(⅔p − ⅔q − ⅙r).

Чтобы точка лежала на OA, коэффициенты при q и r должны обратиться в нуль. При t = 3 оба коэффициента равны нулю, а коэффициент при p равен 2. Но это означает, что вектор пересечения равен 2p, то есть точка находится за A на прямой OA.

Проверка геометрии даёт: при t = 3, точка на MN имеет радиус-вектор 2p. Следовательно, OG = 2p.

(ii) A point on MN has position vector OM + tMN. Since OM = q + ½r, this is q + ½r + t(⅔p − ⅔q − ⅙r). For the point to lie on OA, the coefficients of q and r must be zero. This gives t = 3, and the coefficient of p is then 2. Hence the intersection point has position vector 2p.

Ответ: (a) OB = q + r; (b) AB = q + r − p; (c) MN = ⅔p − ⅔q − ⅙r; (ii) OG = 2p.