B правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AC₁ = 2BC. Найдите угол между диагоналями BD₁ и CA₁. Ответ дайте в градусах.

Разбираемся:

Решение:

• Пусть сторона основания призмы равна а, тогда диагональ основания АС = а√2.
• По условию АС₁ = 2ВС = 2а.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник АСС₁. По теореме Пифагора найдем высоту призмы СС₁:
  \[СС₁ = \sqrt{AC₁² - AC²} = \sqrt{(2a)² - (a\sqrt{2})²} = \sqrt{4a² - 2a²} = \sqrt{2a²} = a\sqrt{2}\]
• Так как СС₁ = a√2, то высота призмы равна диагонали основания. Следовательно, ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб.
• Рассмотрим диагонали BD₁ и CA₁. Пусть O — точка пересечения диагоналей основания ABCD. Тогда О — середина АС.
• Аналогично, пусть O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего основания A₁B₁C₁D₁. Тогда O₁ — середина A₁C₁.
• Проведем отрезок OO₁, который является высотой призмы. Тогда OO₁ || CC₁.
• Рассмотрим прямую A₁C, которая лежит в плоскости AA₁C₁C. Пусть K — точка пересечения A₁C и AC₁. Тогда K — середина AC₁.
• Соединим точки B и K. Получим отрезок BK.
• Треугольник BD₁K равнобедренный (BD₁ = D₁K).
• Угол между диагоналями BD₁ и CA₁ равен углу между BD₁ и BK.
• Так как ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, то угол между BD₁ и BK равен 90°.

Ответ: 90°