B прямоугольном параллелепипеде ABCDА₁B₁C₁D₁ известно, что АВ = 4, AD = 3, АА₁ = 5. Найдите угол DBD₁. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном параллелепипеде все грани являются прямоугольниками, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

1. Найдем длину диагонали основания BD.

Треугольник ABD является прямоугольным (так как ABCD — прямоугольник).

По теореме Пифагора:

\[ BD^2 = AB^2 + AD^2 \]\[ BD^2 = 4^2 + 3^2 \]\[ BD^2 = 16 + 9 \]\[ BD^2 = 25 \]\[ BD = \sqrt{25} = 5 \]

2. Найдем длину диагонали параллелепипеда B D₁.

Треугольник DBD₁ является прямоугольным (так как боковое ребро AA₁ перпендикулярно основанию, значит, перпендикулярно и его диагонали BD).

По теореме Пифагора:

\[ BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 \]\[ BD_1^2 = 5^2 + 5^2 \]\[ BD_1^2 = 25 + 25 \]\[ BD_1^2 = 50 \]\[ BD_1 = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

3. Найдем угол DBD₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DBD₁. Нам известны катеты BD = 5 и DD₁ = 5.

Тангенс угла DBD₁ равен отношению противолежащего катета (DD₁) к прилежащему катету (BD):

\[ \tan(\angle DBD_1) = \frac{DD_1}{BD} \]\[ \tan(\angle DBD_1) = \frac{5}{5} \]\[ \tan(\angle DBD_1) = 1 \]

Угол, тангенс которого равен 1, составляет 45 градусов.

Ответ: 45