B равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

Решение:

На рисунке изображена равнобедренная трапеция. Нам известны:

• Высота: h = 5.
• Угол при основании: \( \alpha = 45^{\circ} \).
• Меньшее основание: a = 4.

Необходимо найти большее основание b.

Опустим из вершины меньшего основания высоту. Мы получим прямоугольный треугольник, где:

• Катет, противолежащий углу \( 45^{\circ} \) — это высота трапеции, \( h = 5 \).
• Угол при основании равен \( 45^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. В нашем случае, противолежащий катет — это высота \( h \), а прилежащий катет — это часть большего основания, которую мы можем обозначить как \( x \).

\( \tan(\alpha) = \frac{h}{x} \)

\( \tan(45^{\circ}) = \frac{5}{x} \)

Так как \( \tan(45^{\circ}) = 1 \), получаем:

\( 1 = \frac{5}{x} \)

Отсюда \( x = 5 \).

В равнобедренной трапеции отрезки, на которые делится большее основание при опуске высот из вершин меньшего основания, равны. То есть, большее основание \( b \) состоит из:

• Отрезка \( x \) (который мы нашли и он равен 5).
• Меньшего основания \( a \) (которое равно 4).
• Отрезка, равного \( x \) (по свойствам равнобедренной трапеции, он тоже равен 5).

Таким образом, большее основание \( b \) равно:

\( b = x + a + x = 5 + 4 + 5 = 14 \).

Ответ: большее основание равно 14.