Б. Решите неравенства: 1) 3^(x+3) − 3^x < 26; 2) 4^(x+2) − 4^(x+1) < 48; 3) 8^(x+1) − 8^x < 56; 4) 3^(2x) − 4·3^x + 3 < 0; 5) 2^(2x) − 3·2^x + 2 ≤ 0; 6) 5·5^(2x) − 26·5^(x+2) + 5 ≥ 0.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Вынесем \(3^x\): \(3^x(27-1)<26\), то есть \(3^x<1=3^0\). Следовательно, \(x<0\).
Вынесем \(4^{x+1}\): \(4^{x+1}(4-1)<48\), откуда \(4^{x+1}<16=4^2\). Следовательно, \(x<1\).
Вынесем \(8^x\): \(8^x(8-1)<56\), откуда \(8^x<8=8^1\). Следовательно, \(x<1\).
Пусть \(t=3^x\), где \(t>0\). Тогда \(t^2-4t+3<0\), то есть \((t-1)(t-3)<0\). Поэтому \(1<t<3\), откуда \(0<x<1\).
Пусть \(t=2^x\), где \(t>0\). Тогда \(t^2-3t+2\le0\), то есть \((t-1)(t-2)\le0\). Значит, \(1\le t\le2\), откуда \(0\le x\le1\).
Пусть \(t=5^x\), где \(t>0\). Тогда \(5t^2-650t+5\ge0\), или \(t^2-130t+1\ge0\). Корни: \(t=65\pm8\sqrt{66}\). Поскольку ветви параболы направлены вверх, \(0<t\le65-8\sqrt{66}\) или \(t\ge65+8\sqrt{66}\). С учётом \(t=5^x\): \(x\le\log_5(65-8\sqrt{66})\) или \(x\ge\log_5(65+8\sqrt{66})\).

Ответ: 1) \(x<0\); 2) \(x<1\); 3) \(x<1\); 4) \(0<x<1\); 5) \(0\le x\le1\); 6) \(x\le\log_5(65-8\sqrt{66})\) или \(x\ge\log_5(65+8\sqrt{66})\).