2. (б) Стальную деталь массой 300 г нагрели до высокой температуры, а затем погрузили для закалки в 3 кг машинного масла, имеющего температуру 10 °С. Определите начальную температуру детали, если температура при установившемся тепловом равновесии была 30 °С.

Дано:

• Масса стальной детали: $$m_1 = 300 \text{ г} = 0.3 \text{ кг}$$


• Масса машинного масла: $$m_2 = 3 \text{ кг}$$


• Температура машинного масла: $$T_2 = 10^circ \text{С}$$


• Температура теплового равновесия: $$T = 30^circ \text{С}$$


• Удельная теплоемкость стали: $$c_1 = 500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} cdot ^circ\text{С}}$$ (примерное значение для стали)


• Удельная теплоемкость машинного масла: $$c_2 = 2000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} cdot ^circ\text{С}}$$ (примерное значение для машинного масла)

Найти: начальную температуру стальной детали $$T_1$$.

Решение:

Запишем уравнение теплового баланса:

$$Q_1 + Q_2 = 0$$

Где:

• $$Q_1$$ - тепло, отданное стальной деталью, $$Q_1 = m_1 cdot c_1 cdot (T - T_1)$$


• $$Q_2$$ - тепло, полученное машинным маслом, $$Q_2 = m_2 cdot c_2 cdot (T - T_2)$$

Подставим выражения для $$Q_1$$ и $$Q_2$$ в уравнение теплового баланса:

$$m_1 cdot c_1 cdot (T - T_1) + m_2 cdot c_2 cdot (T - T_2) = 0$$

Раскроем скобки:

$$m_1 c_1 T - m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T - m_2 c_2 T_2 = 0$$

Выразим $$T_1$$:

$$m_1 c_1 T_1 = m_1 c_1 T + m_2 c_2 T - m_2 c_2 T_2$$
$$T_1 = \frac{m_1 c_1 T + m_2 c_2 T - m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1}$$
$$T_1 = T + \frac{m_2 c_2 (T - T_2)}{m_1 c_1}$$

Подставим известные значения:

$$T_1 = 30 + \frac{3 cdot 2000 cdot (30 - 10)}{0.3 cdot 500}$$
$$T_1 = 30 + \frac{6000 cdot 20}{150}$$
$$T_1 = 30 + \frac{120000}{150}$$
$$T_1 = 30 + 800$$
$$T_1 = 830^circ \text{С}$$

Ответ: Начальная температура стальной детали была 830 °С.