б) У рыбака есть 3 излюбленных места рыбалки. Эти места он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что рыба клюнет в первом месте, близка к 1/3, во втором — близка к 1/2, в третьем — близка к 1/4. Известно, что рыбак забросил удочку 3 раза и вытащил только одну рыбу. Какова вероятность того, что он

Решение:

Обозначим места как M1, M2, M3. Вероятности поклёвки в каждом месте:

• P(Клюнет | M1) = 1/3
• P(Клюнет | M2) = 1/2
• P(Клюнет | M3) = 1/4

Вероятность того, что рыбак посещает каждое место, одинакова, так как он посещает их с одинаковой вероятностью: P(M1) = P(M2) = P(M3) = 1/3.

Пусть С — событие, что клюнула рыба. По теореме о полной вероятности:

P(C) = P(C|M1)P(M1) + P(C|M2)P(M2) + P(C|M3)P(M3)

P(C) = (1/3)*(1/3) + (1/2)*(1/3) + (1/4)*(1/3)

P(C) = 1/9 + 1/6 + 1/12

Приведём к общему знаменателю (36):

P(C) = 4/36 + 6/36 + 3/36 = 13/36

Это вероятность поклёвки рыбы за один заброс. Теперь рассмотрим условие, что рыбак забросил удочку 3 раза и вытащил только одну рыбу. Это означает, что в двух забросах не было поклёвки, а в одном была.

Вероятность отсутствия поклёвки (Н):

P(Н) = 1 - P(C) = 1 - 13/36 = 23/36

Существует три возможных сценария, при которых была выловлена ровно одна рыба за три заброса:

1. Поклёвка в 1-й раз, нет поклёвки во 2-й и 3-й: P1 = P(C) * P(Н) * P(Н) = (13/36) * (23/36) * (23/36)
2. Нет поклёвки в 1-й, поклёвка во 2-й, нет поклёвки в 3-й: P2 = P(Н) * P(C) * P(Н) = (23/36) * (13/36) * (23/36)
3. Нет поклёвки в 1-й и 2-й, поклёвка в 3-й: P3 = P(Н) * P(Н) * P(C) = (23/36) * (23/36) * (13/36)

Общая вероятность того, что была выловлена ровно одна рыба за три заброса, равна сумме этих вероятностей:

P(ровно 1 рыба) = P1 + P2 + P3 = 3 * (13/36) * (23/36)^2

P(ровно 1 рыба) = 3 * (13/36) * (529/1296) = (39/36) * (529/1296) = (13/12) * (529/1296)

P(ровно 1 рыба) = 6877 / 15552

Теперь нам нужно найти вероятность того, что эта одна рыба была поймана в определённом месте, при условии, что всего была поймана одна рыба.

Пусть A — событие, что вытащили ровно одну рыбу. Пусть B1 — событие, что эта рыба была поймана в 1-м месте. Аналогично B2, B3.

Нас просят найти вероятность того, что рыбак вытащил только одну рыбу, и эта рыба была поймана в определённом месте (одно из трёх). Однако, в вопросе не указано, в каком именно месте была поймана рыба. Предполагается, что вопрос заключается в следующем: «Какова вероятность того, что он вытащил только одну рыбу, и эта рыба была поймана в первом месте?» Или «Какова вероятность того, что он вытащил только одну рыбу, и эта рыба была поймана во втором месте?» Или «Какова вероятность того, что он вытащил только одну рыбу, и эта рыба была поймана в третьем месте?»

Если вопрос в том, какова вероятность того, что он вытащил только одну рыбу, и эта рыба была поймана именно в ПЕРВОМ месте, то:

P(1 рыба из M1) = P(C|M1) * P(M1) = (1/3) * (1/3) = 1/9. Это вероятность поклевки в первом месте за один заброс.

Вероятность поклевки в 1-м месте за 3 заброса, вытащив ровно 1 рыбу, и она из 1-го места:

P(1 рыба из M1 за 3 заброса) = 3 * P(C|M1) * P(Н) * P(Н) = 3 * (1/3) * (23/36)^2 = 1 * (529/1296) = 529/1296

Если вопрос в том, какова вероятность того, что он вытащил только одну рыбу, и эта рыба была поймана именно во ВТОРОМ месте, то:

P(1 рыба из M2 за 3 заброса) = 3 * P(C|M2) * P(Н) * P(Н) = 3 * (1/2) * (23/36)^2 = 3/2 * (529/1296) = 1587/2592

Если вопрос в том, какова вероятность того, что он вытащил только одну рыбу, и эта рыба была поймана именно в ТРЕТЬЕМ месте, то:

P(1 рыба из M3 за 3 заброса) = 3 * P(C|M3) * P(Н) * P(Н) = 3 * (1/4) * (23/36)^2 = 3/4 * (529/1296) = 1587/5184

Если вопрос заключается в том, какова вероятность того, что вытащил только одну рыбу, и при этом эта рыба была выловлена из одного из трёх мест (что в принципе подразумевается, раз он рыбачил), то это просто вероятность выловить ровно одну рыбу.

Без уточнения, из какого именно места была поймана рыба, общий вопрос «Какова вероятность того, что он» остаётся неполным. Если под «он» подразумевается, что была выловлена ровно одна рыба, то ответ:

P(ровно 1 рыба) = 6877 / 15552

Предполагая, что вопрос подразумевает, из каких мест вероятнее всего могла быть выловлена эта единственная рыба, можно рассчитать условную вероятность.

Пусть E - событие, что вытащена ровно одна рыба. P(E) = 6877 / 15552.

Пусть B1 - событие, что эта рыба была выловлена из первого места. P(B1|E) = P(E|B1) * P(B1) / P(E)

P(E|B1) = 3 * (1/3) * (23/36)^2 = 529/1296

P(B1) = 1/3

P(E|B1) * P(B1) = (529/1296) * (1/3) = 529/3888

P(B1|E) = (529/3888) / (6877/15552) = (529/3888) * (15552/6877) = 529 * 4 / 6877 = 2116/6877 ≈ 0.3076

Пусть B2 - событие, что эта рыба была выловлена из второго места. P(B2|E) = P(E|B2) * P(B2) / P(E)

P(E|B2) = 3 * (1/2) * (23/36)^2 = 3/2 * (529/1296) = 1587/2592

P(B2) = 1/3

P(E|B2) * P(B2) = (1587/2592) * (1/3) = 1587/7776

P(B2|E) = (1587/7776) / (6877/15552) = (1587/7776) * (15552/6877) = 1587 * 2 / 6877 = 3174/6877 ≈ 0.4615

Пусть B3 - событие, что эта рыба была выловлена из третьего места. P(B3|E) = P(E|B3) * P(B3) / P(E)

P(E|B3) = 3 * (1/4) * (23/36)^2 = 3/4 * (529/1296) = 1587/5184

P(B3) = 1/3

P(E|B3) * P(B3) = (1587/5184) * (1/3) = 1587/15552

P(B3|E) = (1587/15552) / (6877/15552) = 1587/6877 ≈ 0.2307

Сумма условных вероятностей: 2116/6877 + 3174/6877 + 1587/6877 = 6877/6877 = 1.

Наиболее вероятное место, где могла быть поймана единственная рыба — второе место.

Если же вопрос в том, какова вероятность выловить ровно одну рыбу (без указания места), то:

P(ровно 1 рыба) = 6877 / 15552

Без конкретизации вопроса, даём ответ на вероятность выловить ровно одну рыбу.

Ответ: Вероятность выловить ровно одну рыбу за 3 заброса равна 6877/15552.