б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π/2; 3π/2].

Решение:

Мы нашли корни уравнения в пункте (а): \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

Теперь нам нужно выбрать те корни, которые принадлежат отрезку \([-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\).

Подставим различные целые значения \(k\) и проверим, попадают ли соответствующие значения \(x\) в заданный отрезок:

• При \(k = 0\):

\[x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi (0) = -\frac{\pi}{3}\]

Проверим принадлежность отрезку: \(-\frac{3\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2}\). Так как \(-1.5\pi \le -0.333...\pi \le 1.5\pi\), это значение принадлежит отрезку.

• При \(k = 1\):

\[x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi (1) = -\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}\]

Проверим принадлежность отрезку: \(-\frac{3\pi}{2} \le \frac{5\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2}\). Переведем все к общему знаменателю 6: \(-\frac{9\pi}{6} \le \frac{10\pi}{6} \le \frac{9\pi}{6}\). Неравенство \(\frac{10\pi}{6} \le \frac{9\pi}{6}\) неверно. Это значение не принадлежит отрезку.

• При \(k = -1\):

\[x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi (-1) = -\frac{\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{7\pi}{3}\]

Проверим принадлежность отрезку: \(-\frac{3\pi}{2} \le -\frac{7\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2}\). Переведем все к общему знаменателю 6: \(-\frac{9\pi}{6} \le -\frac{14\pi}{6} \le \frac{9\pi}{6}\). Неравенство \(-\frac{9\pi}{6} \le -\frac{14\pi}{6}\) неверно. Это значение не принадлежит отрезку.

Проверка промежуточных значений:

Для полноты, проверим значения \(x\) где \(\sin x = 0\), то есть \(x = \pi n\), и убедимся, что они не являются решениями исходного уравнения, или что они не удовлетворяют условию \(\sin x < 0\). В пункте (а) мы выяснили, что \(x = \pi n\) не являются решениями исходного уравнения, так как при \(\sin x = 0\) множитель \(6\cos^2 x - 11\cos x + 4
eq 0\).

Таким образом, единственным решением, принадлежащим заданному отрезку, является \(x = -\frac{\pi}{3}\).

Ответ: \(-\frac{\pi}{3}\).