б) В треугольной усеченной пирамиде с высотой, равной 10, стороны одного из оснований равны 4, 13 и 15. Определите объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 64.

Смотри, как это работает:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем стороны второго основания.
  Так как периметр второго основания равен 64, а стороны пропорциональны сторонам первого основания, то коэффициент пропорциональности k можно найти как отношение периметров:
  \[ k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{64}{4+13+15} = \frac{64}{32} = 2 \]
• Тогда стороны второго основания будут равны:
  \[ a_2 = 4k = 4 \cdot 2 = 8 \]
  \[ b_2 = 13k = 13 \cdot 2 = 26 \]
  \[ c_2 = 15k = 15 \cdot 2 = 30 \]
• Шаг 2: Найдем площади оснований.
  Площадь первого основания найдем по формуле Герона:
  \[ p_1 = \frac{4+13+15}{2} = 16 \]
  \[ S_1 = \sqrt{p_1(p_1-a_1)(p_1-b_1)(p_1-c_1)} = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24 \]
• Площадь второго основания также найдем по формуле Герона:
  \[ p_2 = \frac{8+26+30}{2} = 32 \]
  \[ S_2 = \sqrt{p_2(p_2-a_2)(p_2-b_2)(p_2-c_2)} = \sqrt{32(32-8)(32-26)(32-30)} = \sqrt{32 \cdot 24 \cdot 6 \cdot 2} = \sqrt{9216} = 96 \]
• Шаг 3: Найдем объем усеченной пирамиды.
  Объем усеченной пирамиды находится по формуле:
  \[ V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2}) \]
• Подставим значения:
  \[ V = \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot (24 + 96 + \sqrt{24 \cdot 96}) = \frac{10}{3} \cdot (120 + \sqrt{2304}) = \frac{10}{3} \cdot (120 + 48) = \frac{10}{3} \cdot 168 = 10 \cdot 56 = 560 \]

Ответ: 560