б) Вычислить определённый интеграл: $\displaystyle\int_{3}^{6}\frac{\sqrt{x^2-9}}{x^4}\,dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: б) Вычислить определённый интеграл: $\displaystyle\int_{3}^{6}\frac{\sqrt{x^2-9}}{x^4}\,dx$.$ Фото задания

б) Вычислить определённый интеграл: $\displaystyle\int_{3}^{6}\frac{\sqrt{x^2-9}}{x^4}\,dx$.

Accepted Answer

Сделаем замену $x=3\sec t$. При $x=3$ получаем $t=0$, а при $x=6$ — $t=\frac{\pi}{3}$.

Тогда $\sqrt{x^2-9}=3\tan t$, $dx=3\sec t\,dt$, поэтому

\[\int_{3}^{6}\frac{\sqrt{x^2-9}}{x^4}\,dx=\frac{1}{9}\int_{0}^{\pi/3}\sin^2 t\cos t\,dt.\]

Положим $u=\sin t$, тогда $du=\cos t\,dt$:

\[\frac{1}{9}\int_{0}^{\pi/3}\sin^2 t\cos t\,dt=\frac{1}{9}\left[\frac{\sin^3 t}{3}\right]_{0}^{\pi/3}=\frac{1}{27}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3=\frac{\sqrt{3}}{72}.\]

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{72}$.

б) Вычислить определённый интеграл: \(\displaystyle\int_{3}^{6}\frac{\sqrt{x^2-9}}{x^4}\,dx\).

Ответ: