б) Вычислить сумму геометрической прогрессии (3 штуки): 1, -2/3, 4/9, -8/27, 16/81 2, 1/2, 1/8, 1/32, 1/128 1/5, 1/25, 1/625

Привет! Давай помогу тебе с этой задачкой!

Задание 1:

Необходимо вычислить сумму геометрической прогрессии:

\[ -\frac{2}{3}, \frac{4}{9}, -\frac{8}{27}, \frac{16}{81}, ... \]

Для начала, определим первый член прогрессии \( b_1 \) и знаменатель \( q \):

\[ b_1 = -\frac{2}{3} \]

\[ q = \frac{\frac{4}{9}}{-\frac{2}{3}} = \frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{2}{3} \]

Теперь воспользуемся формулой для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[ S = \frac{b_1}{1 - q} \]

Подставим известные значения:

\[ S = \frac{-\frac{2}{3}}{1 - \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{-\frac{2}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{2}{5} \]

Задание 2:

Необходимо вычислить сумму геометрической прогрессии:

\[ \frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \frac{1}{32}, \frac{1}{128}, ... \]

Определим первый член прогрессии \( b_1 \) и знаменатель \( q \):

\[ b_1 = \frac{1}{2} \]

\[ q = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{8} \cdot 2 = \frac{1}{4} \]

Теперь воспользуемся формулой для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[ S = \frac{b_1}{1 - q} \]

Подставим известные значения:

\[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \]

Задание 3:

Необходимо вычислить сумму геометрической прогрессии:

\[ \frac{1}{5}, \frac{1}{25}, \frac{1}{625}, ... \]

Определим первый член прогрессии \( b_1 \) и знаменатель \( q \):

\[ b_1 = \frac{1}{5} \]

\[ q = \frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{5}} = \frac{1}{25} \cdot 5 = \frac{1}{5} \]

Теперь воспользуемся формулой для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[ S = \frac{b_1}{1 - q} \]

Подставим известные значения:

\[ S = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{1}{4} \]

Отлично! Ты хорошо поработал(а). У тебя все получится!