B-2 1. Вычислить a) log2 16 + log, 9; 6) 5log 10-1; B) log 9+2log, 2; r) lg √30-lg √3. 2. Решить уравнение a) log2(x²-2x) = 3; 6) lg(2x² + 3x) = lg(6x + 2); B) 2log3(-x) = 1 + log3(x + 6); 3. Решить уравнение a) 1-3 4-2x = 9; б) 5*+2+5= 130;

Ответ: Решения представлены ниже.

B-2

1. Вычислить

a) \(\log_2 16 + \log_3 9 = \log_2 2^4 + \log_3 3^2 = 4 + 2 = 6\)

б) \(5^{\log_5 10} - 1 = 10 - 1 = 9\)

в) \(\log_6 9 + 2 \log_6 2 = \log_6 9 + \log_6 2^2 = \log_6 9 + \log_6 4 = \log_6 (9 \cdot 4) = \log_6 36 = 2\)

г) \(\lg \sqrt{30} - \lg \sqrt{3} = \lg \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{3}} = \lg \sqrt{\frac{30}{3}} = \lg \sqrt{10} = \frac{1}{2} \lg 10 = \frac{1}{2}\)

2. Решить уравнение

a) \(\log_2(x^2 - 2x) = 3\)

• ОДЗ: \(x^2 - 2x > 0\)
• \(x^2 - 2x = 2^3\)
• \(x^2 - 2x - 8 = 0\)
• \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\)
• \(x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
• \(x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)

Проверка ОДЗ:

• \(x = 4\): \(4^2 - 2 \cdot 4 = 16 - 8 = 8 > 0\) - подходит
• \(x = -2\): \((-2)^2 - 2 \cdot (-2) = 4 + 4 = 8 > 0\) - подходит

б) \(\lg(2x^2 + 3x) = \lg(6x + 2)\)

• ОДЗ:
  • \(2x^2 + 3x > 0\)
  • \(6x + 2 > 0\)
• \(2x^2 + 3x = 6x + 2\)
• \(2x^2 - 3x - 2 = 0\)
• \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\)
• \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{4} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2\)
• \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{4} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)

Проверка ОДЗ:

• \(x = 2\):
  • \(2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 = 8 + 6 = 14 > 0\) - подходит
  • \(6 \cdot 2 + 2 = 12 + 2 = 14 > 0\) - подходит
• \(x = -\frac{1}{2}\):
  • \(2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1 < 0\) - не подходит
  • \(6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = -3 + 2 = -1 < 0\) - не подходит

в) \(2 \log_3(-x) = 1 + \log_3(x + 6)\)

• ОДЗ:
  • \(-x > 0\)
  • \(x + 6 > 0\)
• \(\log_3((-x)^2) = \log_3 3 + \log_3(x + 6)\)
• \(\log_3(x^2) = \log_3(3(x + 6))\)
• \(x^2 = 3(x + 6)\)
• \(x^2 = 3x + 18\)
• \(x^2 - 3x - 18 = 0\)
• \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81\)
• \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6\)
• \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

Проверка ОДЗ:

• \(x = 6\):
  • \(-6 > 0\) - не подходит
  • \(6 + 6 = 12 > 0\) - подходит
• \(x = -3\):
  • \(-(-3) = 3 > 0\) - подходит
  • \(-3 + 6 = 3 > 0\) - подходит

3. Решить уравнение

a) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{4-2x} = 9\)

• \(\left(3^{-1}\right)^{4-2x} = 3^2\)
• \(3^{-4+2x} = 3^2\)
• \(-4 + 2x = 2\)
• \(2x = 6\)
• \(x = 3\)

б) \(5^{x+2} + 5^x = 130\)

• \(5^x \cdot 5^2 + 5^x = 130\)
• \(5^x(5^2 + 1) = 130\)
• \(5^x(25 + 1) = 130\)
• \(5^x \cdot 26 = 130\)
• \(5^x = \frac{130}{26}\)
• \(5^x = 5\)
• \(x = 1\)

Ответ: Решения представлены выше.