B-1 1. Вычислить a) log, 27-log 7; 6) 21+log: 5; B) lg 4 + 21g 5; 7 r) logs √10-logs √2. 2. Решить уравнение a) log(x²-15x) = 2; 6) 1g(x²-9)=lg(4x + 3); в) 2log2(-x) = 1 + log2(x + 4); 3. Решить уравнение a) 1-5 3-2x = 125; 6) 3*+33 78;

Ответ: Решения представлены ниже.

B-1

1. Вычислить

a) \(\log_7 27 - \log_7 7 = \log_7 \frac{27}{7}\)

б) \(2^{1 + \log_2 5} = 2^1 \cdot 2^{\log_2 5} = 2 \cdot 5 = 10\)

в) \(\lg 4 + 2 \lg 5 = \lg 4 + \lg 5^2 = \lg 4 + \lg 25 = \lg (4 \cdot 25) = \lg 100 = 2\)

г) \(\log_5 \sqrt{10} - \log_5 \sqrt{2} = \log_5 \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \log_5 \sqrt{\frac{10}{2}} = \log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\)

2. Решить уравнение

a) \(\log(x^2 - 15x) = 2\)

• ОДЗ: \(x^2 - 15x > 0\)
• \(x^2 - 15x = 10^2\)
• \(x^2 - 15x - 100 = 0\)
• \(D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625\)
• \(x_1 = \frac{15 + \sqrt{625}}{2} = \frac{15 + 25}{2} = \frac{40}{2} = 20\)
• \(x_2 = \frac{15 - \sqrt{625}}{2} = \frac{15 - 25}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)

Проверка ОДЗ:

• \(x = 20\): \(20^2 - 15 \cdot 20 = 400 - 300 = 100 > 0\) - подходит
• \(x = -5\): \((-5)^2 - 15 \cdot (-5) = 25 + 75 = 100 > 0\) - подходит

б) \(\lg(x^2 - 9) = \lg(4x + 3)\)

• ОДЗ:
  • \(x^2 - 9 > 0\)
  • \(4x + 3 > 0\)
• \(x^2 - 9 = 4x + 3\)
• \(x^2 - 4x - 12 = 0\)
• \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\)
• \(x_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6\)
• \(x_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)

Проверка ОДЗ:

• \(x = 6\):
  • \(6^2 - 9 = 36 - 9 = 27 > 0\) - подходит
  • \(4 \cdot 6 + 3 = 24 + 3 = 27 > 0\) - подходит
• \(x = -2\):
  • \((-2)^2 - 9 = 4 - 9 = -5 < 0\) - не подходит
  • \(4 \cdot (-2) + 3 = -8 + 3 = -5 < 0\) - не подходит

в) \(2 \log_2(-x) = 1 + \log_2(x + 4)\)

• ОДЗ:
  • \(-x > 0\)
  • \(x + 4 > 0\)
• \(\log_2((-x)^2) = \log_2 2 + \log_2(x + 4)\)
• \(\log_2(x^2) = \log_2(2(x + 4))\)
• \(x^2 = 2(x + 4)\)
• \(x^2 = 2x + 8\)
• \(x^2 - 2x - 8 = 0\)
• \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\)
• \(x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
• \(x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)

Проверка ОДЗ:

• \(x = 4\):
  • \(-4 > 0\) - не подходит
  • \(4 + 4 = 8 > 0\) - подходит
• \(x = -2\):
  • \(-(-2) = 2 > 0\) - подходит
  • \(-2 + 4 = 2 > 0\) - подходит

3. Решить уравнение

a) \(\left(\frac{1}{5}\right)^{3-2x} = 125\)

• \(\left(5^{-1}\right)^{3-2x} = 5^3\)
• \(5^{-3+2x} = 5^3\)
• \(-3 + 2x = 3\)
• \(2x = 6\)
• \(x = 3\)

б) \(3^{x+3} - 3^x = 78\)

• \(3^x \cdot 3^3 - 3^x = 78\)
• \(3^x(3^3 - 1) = 78\)
• \(3^x(27 - 1) = 78\)
• \(3^x \cdot 26 = 78\)
• \(3^x = \frac{78}{26}\)
• \(3^x = 3\)
• \(x = 1\)

Ответ: Решения представлены выше.