B) (x²-49)² + (x² + 4x - 21)² = 0;

Решение:

• Шаг 1: Раскладываем выражение x² - 49 и x² + 4x - 21 на множители.

Показать разложение на множители

• Разложим первое выражение:
\[x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)\]
• Разложим второе выражение: \[x^2 + 4x - 21 = (x + 7)(x - 3)\]

• Шаг 2: Подставляем разложенные выражения в исходное уравнение:

\[((x - 7)(x + 7))^2 + ((x + 7)(x - 3))^2 = 0\]

• Шаг 3: Выносим общий множитель за скобки.

\[(x + 7)^2 \cdot ((x - 7)^2 + (x - 3)^2) = 0\]

• Шаг 4: Упрощаем выражение в скобках.

Показать упрощение выражения

\[(x - 7)^2 + (x - 3)^2 = x^2 - 14x + 49 + x^2 - 6x + 9 = 2x^2 - 20x + 58\]

• Шаг 5: Записываем упрощенное уравнение:

\[(x + 7)^2 \cdot (2x^2 - 20x + 58) = 0\]

• Шаг 6: Анализируем уравнение. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Показать анализ уравнения

• Первый случай:
\[(x + 7)^2 = 0 \Rightarrow x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7\]
• Второй случай:
\[2x^2 - 20x + 58 = 0 \Rightarrow x^2 - 10x + 29 = 0\]

• Шаг 7: Решаем квадратное уравнение.

Показать решение квадратного уравнения

• Дискриминант:
\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = 100 - 116 = -16\]
• Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

• Шаг 8: Делаем вывод о корнях исходного уравнения.

Уравнение имеет только один действительный корень: x = -7.

• Шаг 9: Находим корни, при которых оба выражения в скобках равны 0.

\[ \begin{cases} x^2 - 49 = 0 \\ x^2 + 4x - 21 = 0 \end{cases} \]

Решаем первое уравнение:

\[x^2 - 49 = 0 \Rightarrow (x - 7)(x + 7) = 0 \Rightarrow x = 7, x = -7\]

Решаем второе уравнение:

\[x^2 + 4x - 21 = 0 \Rightarrow (x + 7)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = -7, x = 3\]

Общий корень этих уравнений x = -7.

Корень x = 3 является решением второго уравнения.