B-1 1) 8x²+24x>0 2) x²+3x-4<0 y+2x = 4 2x + yx=-12 1 Зенсите неравенство 2. Решить систему уравнений 3. Найдите область определение 4 Решить графически систему V-2x²+5x+2 уравнений { y=4x-x² y + 2x = 5 5. Расстояние между двумя посёлками, равное 12 км, первый пешеход проходит на 1 час быстре в торого Найдите скорость каждого пешеходе есий второй пешеход за 2 ч проходит на a keu больше чеш первой за 1 ч

B-1

1. Решите неравенство
   1. $$8x^2+24x>0$$

      Вынесем общий множитель 8x за скобки:

      $$8x(x+3)>0$$

      Разделим обе части неравенства на 8 (поскольку 8>0, знак неравенства не меняется):

      $$x(x+3)>0$$

      Найдем нули функции, приравняв левую часть к нулю:

      $$x(x+3)=0$$

      $$x=0$$ или $$x+3=0$$

      $$x=0$$ или $$x=-3$$

      Определим знаки на интервалах:

      Интервал $$(-\infty; -3)$$: x = -4, $$(-4)(-4+3) = (-4)(-1) = 4 > 0$$

      Интервал $$(-3; 0)$$: x = -1, $$(-1)(-1+3) = (-1)(2) = -2 < 0$$

      Интервал $$(0; +\infty)$$: x = 1, $$(1)(1+3) = (1)(4) = 4 > 0$$

      Решение неравенства: $$x \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$$.

      Ответ: $$x \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$$

   2. $$x^2+3x-4<0$$

      Найдем корни квадратного уравнения $$x^2+3x-4=0$$

      По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -3$$, $$x_1 \cdot x_2 = -4$$

      Корни: $$x_1 = -4$$, $$x_2 = 1$$

      Разложим квадратный трехчлен на множители:

      $$(x+4)(x-1) < 0$$

      Определим знаки на интервалах:

      Интервал $$(-\infty; -4)$$: x = -5, $$(-5+4)(-5-1) = (-1)(-6) = 6 > 0$$

      Интервал $$(-4; 1)$$: x = 0, $$(0+4)(0-1) = (4)(-1) = -4 < 0$$

      Интервал $$(1; +\infty)$$: x = 2, $$(2+4)(2-1) = (6)(1) = 6 > 0$$

      Решение неравенства: $$x \in (-4; 1)$$.

      Ответ: $$x \in (-4; 1)$$

2. Решить систему уравнений
   1. $$\begin{cases} y+2x=4 \\ 2x + yx=-12 \end{cases}$$

      Выразим y из первого уравнения: $$y=4-2x$$

      Подставим во второе уравнение: $$2x+(4-2x)x=-12$$

      $$2x+4x-2x^2=-12$$

      $$2x^2-6x-12=0$$

      $$x^2-3x-6=0$$

      $$D = (-3)^2 - 4(1)(-6) = 9 + 24 = 33$$

      $$x_1 = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}$$, $$x_2 = \frac{3 - \sqrt{33}}{2}$$

      $$y_1 = 4 - 2(\frac{3 + \sqrt{33}}{2}) = 4 - 3 - \sqrt{33} = 1 - \sqrt{33}$$

      $$y_2 = 4 - 2(\frac{3 - \sqrt{33}}{2}) = 4 - 3 + \sqrt{33} = 1 + \sqrt{33}$$

      Ответ: $$(\frac{3 + \sqrt{33}}{2}; 1 - \sqrt{33})$$, $$(\frac{3 - \sqrt{33}}{2}; 1 + \sqrt{33})$$

3. Найдите область определения
   1. $$\sqrt{-2x^2+5x+2}$$

      Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

      $$-2x^2+5x+2 \ge 0$$

      $$2x^2-5x-2 \le 0$$

      Найдем корни уравнения $$2x^2-5x-2=0$$

      $$D = (-5)^2 - 4(2)(-2) = 25 + 16 = 41$$

      $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{41}}{4}$$, $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{41}}{4}$$

      $$2(x - \frac{5 + \sqrt{41}}{4})(x - \frac{5 - \sqrt{41}}{4}) \le 0$$

      Определим знаки на интервалах:

      $$x \in [\frac{5 - \sqrt{41}}{4}; \frac{5 + \sqrt{41}}{4}]$$

      Ответ: $$x \in [\frac{5 - \sqrt{41}}{4}; \frac{5 + \sqrt{41}}{4}]$$

4. Решить графически систему уравнений
   1. $$\begin{cases} y=4x-x^2 \\ y + 2x = 5 \end{cases}$$

      Выразим y из второго уравнения: $$y=5-2x$$

      Подставим в первое уравнение: $$5-2x = 4x-x^2$$

      $$x^2 - 6x + 5 = 0$$

      По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 6$$, $$x_1 \cdot x_2 = 5$$

      Корни: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 5$$

      $$y_1 = 5 - 2(1) = 3$$

      $$y_2 = 5 - 2(5) = -5$$

      Ответ: $$(1; 3)$$, $$(5; -5)$$

5. Пусть v1 - скорость первого пешехода, v2 - скорость второго пешехода.

   Известно, что расстояние между посёлками 12 км. Первый пешеход проходит это расстояние на 1 час быстрее второго.

   $$\frac{12}{v_2} - \frac{12}{v_1} = 1$$

   Также известно, что второй пешеход за 2 часа проходит на 2 км больше, чем первый за 1 час.

   $$2v_2 = v_1 + 2$$

   Выразим v1 из второго уравнения: $$v_1 = 2v_2 - 2$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$\frac{12}{v_2} - \frac{12}{2v_2 - 2} = 1$$

   $$\frac{12}{v_2} - \frac{6}{v_2 - 1} = 1$$

   $$\frac{12(v_2 - 1) - 6v_2}{v_2(v_2 - 1)} = 1$$

   $$12v_2 - 12 - 6v_2 = v_2^2 - v_2$$

   $$v_2^2 - 7v_2 + 12 = 0$$

   По теореме Виета: $$v_{2_1} + v_{2_2} = 7$$, $$v_{2_1} \cdot v_{2_2} = 12$$

   Корни: $$v_{2_1} = 3$$, $$v_{2_2} = 4$$

   $$v_{1_1} = 2(3) - 2 = 4$$

   $$v_{1_2} = 2(4) - 2 = 6$$

   Ответ: 4 км/ч и 3 км/ч или 6 км/ч и 4 км/ч