B) x^4 + 2x^3 + x^2 < 8x + 20

Решение:

Для решения данного неравенства преобразуем его, перенеся все члены в одну сторону:

\[ x^4 + 2x^3 + x^2 - 8x - 20 < 0 \]

Попробуем сгруппировать члены:

\[ (x^4 + 2x^3) + (x^2 - 8x - 20) < 0 \]

Это не приводит к очевидному разложению. Попробуем другую группировку или поиск рациональных корней многочлена \( P(x) = x^4 + 2x^3 + x^2 - 8x - 20 \). Возможные рациональные корни — делители свободного члена (-20), то есть \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20 \).

Проверим \( x = -2 \):

\[ P(-2) = (-2)^4 + 2(-2)^3 + (-2)^2 - 8(-2) - 20 = 16 + 2(-8) + 4 + 16 - 20 = 16 - 16 + 4 + 16 - 20 = 0 \]

Значит, \( (x+2) \) — множитель многочлена.

Проверим \( x = 2 \):

\[ P(2) = (2)^4 + 2(2)^3 + (2)^2 - 8(2) - 20 = 16 + 2(8) + 4 - 16 - 20 = 16 + 16 + 4 - 16 - 20 = 0 \]

Значит, \( (x-2) \) — множитель многочлена.

Разделим многочлен \( x^4 + 2x^3 + x^2 - 8x - 20 \) на \( (x+2)(x-2) = x^2 - 4 \).

Выполним деление столбиком или используем синтетическое деление дважды.

\( (x^4 + 2x^3 + x^2 - 8x - 20) : (x^2 - 4) = x^2 + 2x + 5 \)

Таким образом, неравенство примет вид:

\[ (x^2 - 4)(x^2 + 2x + 5) < 0 \]

Рассмотрим множитель \( x^2 + 2x + 5 \). Дискриминант этого квадратного трёхчлена равен \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 \).

Так как \( D < 0 \) и старший коэффициент (1) положительный, то \( x^2 + 2x + 5 > 0 \) для всех \( x \).

Следовательно, знак неравенства определяется множителем \( x^2 - 4 \).

\[ x^2 - 4 < 0 \]

\[ x^2 < 4 \]

Это неравенство выполняется при \( -2 < x < 2 \).

Ответ: \( (-2; 2) \).