B1. В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону CD, делит ее пополам и образует с диагональю BD угол 30°, AB = 10 см. Найдите периметр параллелограмма.

Пусть высота из вершины A падает на сторону CD в точку H. Так как H — середина CD, а \(CD=AB=10\) см, то \(DH=5\) см.

В прямоугольном треугольнике \(DHB\) угол между высотой \(AH\) и диагональю \(BD\) равен \(30^\circ\). Поэтому угол \(HDB=60^\circ\), и

\[\tan 60^\circ=\frac{BH}{DH}.\]

Так как \(BH=AB+DH=10+5=15\) см, то

\[AH=15\sqrt3\text{ см}.\]

Сторона \(BC\) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(AH=15\sqrt3\) и \(HC=5\):

\[BC=\sqrt{(15\sqrt3)^2+5^2}=\sqrt{675+25}=10\sqrt7\text{ см}.\]

Тогда периметр:

\[P=2(AB+BC)=2(10+10\sqrt7)=20+20\sqrt7\text{ см}.\]

Ответ: \(20+20\sqrt7\) см.